Famosos declaraciones verdaderas y vacías

Question

Estoy interesado en conocer otros ejemplos vacuously declaraciones verdaderas que no son desdeñables. Mi partida ejemplo es Turan del resultado en cuanto a la hipótesis de Riemann, que los estados

Supongamos que para cada una de las $N \in \mathbb{N}_{>0}$ la función de $\displaystyle \sum_{n=1}^N n^{-s}$ no tiene ceros por $\mathfrak{R}(s) > 1$. A continuación, la función $$\displaystyle T(x) = \sum_{1\leq n \leq x} \frac{\lambda(n)}{n}$$ no es negativo para $x \geq 0$. En particular, esto significaría que la hipótesis de Riemann.

Aquí $\lambda(n) = \lambda(p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}) = (-1)^r$ es la función de Liouville.

Lo interesante de esta afirmación es que tanto la hipótesis y la consecuencia puede ser probada falsa de forma independiente. En particular, Montgomery mostró en 1983, que para todos lo suficientemente grande $N$ las cantidades antes mencionadas tienen ceros con partes reales de más de uno, y Haselgrove mostró en 1958 que $T(x)$ es negativo para una infinidad de valores de $x$. Pedro Borwein et al. encuentra las más pequeñas, tales $x$ en 2008.

Me parece que este resultado fascinante, ya que se refiere a un conocido de conjeturas, y tanto la hipótesis y la consecuencia eran plausibles. Hay otros matemáticos hechos de esta naturaleza, tal vez en otras zonas?

Answer 1

Answer 2

Algo de esta naturaleza aparentemente ocurrió con Scott Brown original de la prueba en la década de 1970 que los subnormales de los operadores en el espacio de Hilbert siempre de manera no trivial subespacios invariantes. Una buena explicación de esto está en las páginas 21-22 de Sarason encuesta del artículo

http://library.msri.org/books/Book33/files/sarason.pdf

Por hacer varias reducciones, Brown fue capaces de reducir el subespacio invariante pregunta para $P^2(\mu)$ para el caso de que $P^\infty(\mu)$ es sólo $H^\infty$ de la unidad de disco, y $P^2(\mu)$ admite no delimitada punto de las evaluaciones. Lo demostró en el caso de que la evaluación funcionales en $H^\infty$ en los puntos de $\mathbb D$ tienen representaciones espaciales de un simple tipo en $P^2(\mu)$, a partir de la cual la existencia de invariantes no triviales subespacios sigue de inmediato... Se dio cuenta rápidamente de que Brown ideas básicas, incluyendo su método para la construcción de las representaciones espaciales, se aplican mucho más allá del ámbito de subnormales a los operadores.

Pero, después de los resultados de J. E. Thomson en 1991:

"Thomson resultado muestra que, paradójicamente, que la situación en la que Brown originalmente aplica su técnica ($P^\infty(\mu)= H^{\infty}$, sin embargo, $P^2(\mu)$ no tiene delimitada punto de evaluaciones) es en efecto vacío. Incluso teoremas sobre el conjunto vacío, parece, puede contener ideas interesantes."

Answer 3

Cada primo para el que falla el primer caso de FLT es un primo de Wieferich.

Answer 4

Escuché que había una teoría completa de los campos de inclinación finitos.