He aquí un ejemplo de la teoría de grupos.
El torre de automorfismo de un grupo G se obtiene mediante calculando iterativamente el grupo de automorfismo:
$$G\to \text{Aut}(G)\to \text{Aut}(\text{Aut}(G))\to\cdots$$
Cada grupo se mapea homomórficamente en el siguiente mapeando un elemento $g$ a la conjugación por ese elemento. Se puede por lo tanto, continuar la iteración de forma transitoria tomando un límite directo para obtener el grupo $G_\omega$ en $\omega$ y continuar el proceso. En las etapas sucesoras, tome el grupo de automorfismo; en las etapas límite, tomar el límite directo del sistema resultante. La cuestión es si el proceso termina alguna vez, si se llega a un grupo grupo que sea isomorfo a su grupo de automorfismo por ese mapa natural. Un grupo así es completo, con centro trivial centro trivial y sin automorfismos externos.
Wielandt (1939) demostró que la torre de automorfismo de cada grupo finito sin centro termina en un número finito de pasos. Hulse (1970) demostró que la torre de automorfismo de cualquier grupo policíclico sin centro termina en un número número ordinal de pasos.
Simon Thomas ( aquí en MO ) demostró (1985) en general que la torre de automorfismo de cualquier grupo sin centro $G$ termina antes de la etapa $(2^{|G|})^+$ muchos pasos.
Este límite en la altura de la torre de automorfismo es estrictamente mayor que el continuo, incluso cuando el tamaño del del grupo no lo es, por lo que parece ser un ejemplo del fenómeno deseado. (Hay un sentido teórico del conjunto (Just, Shelah y Thomas) en el que no se puede esperar demostrar una mejor límite).
Los documentos de Thomas están disponibles en su página web página web .
Mientras tanto, en el caso de los grupos no centrados, demostré que todo grupo tiene una torre de automorfismo transfinito terminante (véase Actas AMS 126 (1998) ). La prueba procede mostrando que toda torre de automorfismo conduce finalmente a un grupo sin centro, y luego apela al teorema de Thomas. También hay una encuesta fácil artículo disponible.
Para grupos generales, el mejor límite superior conocido para la altura de la torre de automorfismo es esencialmente el siguiente cardinal inaccesible. Incluso para los grupos finitos, no hay límite superior razonable en el caso general (no centrado).
También se debatió el tema en este modus operandi pregunta .
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Un ejemplo popular famoso es el grupo de automorfismo del campo de los números complejos, que tiene cardinalidad $2^{2^{\aleph_0}}$ .
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@Evan Por otro lado, sólo hay 2 automorfismos continuos (o incluso "razonablemente definibles") de este tipo.
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Dado el título de esta pregunta, ¿no es un oxímoron etiquetar esta pregunta como "teoría de conjuntos"?
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@Andres: el grupo de automorfismos de los números complejos se utiliza como herramienta en la teoría de los modelos canónicos de las variedades de Shimura. Aunque sólo se me ocurren dos automorfismos explícitos, el grupo completo es necesario.
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BCnrd me señala en un correo electrónico que, si bien lo que digo es cierto (Aut(C) es utilizado), no es lógicamente esencial utilizarlo (es decir, sabe cómo demostrar muchos, si no todos, los resultados en los que se utiliza, sin usarlo).
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@Kevin Buzzard: No he visto el email, pero en general, muchas veces es posible evitar una construcción compleja hablando alrededor de ella. Por ejemplo, podríamos saltarnos toda la teoría de grupos abstractos y trabajar sólo con grupos de permutaciones. Para un ejemplo más histórico, leí una vez que los topólogos entendían el concepto de grupos de homología mucho antes de que empezaran a usar esa terminología en los artículos. En principio, todavía "podríamos" evitar los grupos de homología para muchos resultados hablando en torno a ellos. Mi opinión personal es que "si" algo se usa comúnmente, eso es todo lo que importa, no si "debe" usarse.
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@Kevin: Me lo imaginaba; por motivos abstractos, muchos de los usos tenían que ser no esenciales. Pero, como señaló Carl Mummert, no se trata necesariamente de eso.
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Pregunta relacionada: mathoverflow.net/questions/35408/