Cardinalidades mayores que el continuo en áreas distintas a la teoría de conjuntos

Question

Parece que en la mayoría de los teoremas fuera de la teoría de conjuntos en los que se utiliza el tamaño de algún conjunto en la demostración, hay tres posibilidades: o el conjunto es finito, contablemente infinito o incontablemente infinito. ¿Hay algún resultado bien conocido, por ejemplo, en álgebra o análisis, que requiera que un conjunto dado tenga una cardinalidad estrictamente mayor que $2^{\aleph_{0}}$ ? Tal vez en una línea similar, ¿se encuentran objetos que deben tener un tamaño mayor que $2^{\aleph_{0}}$ para que se mantengan ciertas propiedades?

Answer 1

El espacio tangente de Zariski en cualquier punto de una dimensión positiva $C^1$ -manifold $X$ tiene dimensión $2^{2^{\aleph_0}}= 2^{\frak c}$ . Permítanme explicar en el caso cuando $X=\mathbb R$ .

Considere el anillo $C^1_0$ de gérmenes de $C^1$ - funciones en $0\in \mathbb R$ y su ideal máximo $\frak m $ de gérmenes de funciones que desaparecen en cero. El espacio cotangente en cero de $\mathbb R $ es $Cot_0=\frak m /\frak m ^2$ y el espacio tangente de Zariski es $T_0=(Cot_0)^{\ast}$ (dual) $\mathbb R$ -espacio vectorial). Ahora los gérmenes de las funciones $x^\alpha $ son linealmente independientes modulo $\frak m ^2$ para $\; \alpha\in(1,2)$ . Por lo tanto, $dim_{\mathbb R} (Cot_0)=\frak c$ por lo que, efectivamente, el espacio tangente de Zariski en el cero de $\mathbb R$ es $dim_{\mathbb R} (T_0)=2^{\frak c}$ .

Cabe destacar que muchos libros de texto afirman erróneamente que para un $n$ -de la clase $C^1$ el espacio tangente de Zariski definido anteriormente tiene dimensión $n$ . O cometen algún error equivalente como afirmar que el espacio vectorial de derivaciones de $C^1_0$ tiene dimensión $n$ . Un ejemplo de este error se encuentra en la página 42 del libro de Claire Voisin (¡excelente!) Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja I publicado por Cambridge University Press.

Para terminar con una nota positiva, el fenómeno que estoy describiendo sólo levanta su fea cabeza para $C^k$ -manifolds con $k<\infty$ . Para $n$ -dimensional $C^\infty$ -el espacio tangente de Zariski en cualquier punto tiene dimensión $n$ como debe ser. El meollo de la cuestión es que un $C^\infty$ función $f$ , en $\mathbb R$ digamos, que desaparece en cero puede escribirse $f=xg$ para alguna función $g$ que también es de la clase $C^\infty$ mientras que $g$ sólo sería de la clase $C^{k-1}$ si $f$ eran de clase $C^k$ .

Answer 2

He aquí un ejemplo de la teoría de grupos.

El torre de automorfismo de un grupo G se obtiene mediante calculando iterativamente el grupo de automorfismo:

$$G\to \text{Aut}(G)\to \text{Aut}(\text{Aut}(G))\to\cdots$$

Cada grupo se mapea homomórficamente en el siguiente mapeando un elemento $g$ a la conjugación por ese elemento. Se puede por lo tanto, continuar la iteración de forma transitoria tomando un límite directo para obtener el grupo $G_\omega$ en $\omega$ y continuar el proceso. En las etapas sucesoras, tome el grupo de automorfismo; en las etapas límite, tomar el límite directo del sistema resultante. La cuestión es si el proceso termina alguna vez, si se llega a un grupo grupo que sea isomorfo a su grupo de automorfismo por ese mapa natural. Un grupo así es completo, con centro trivial centro trivial y sin automorfismos externos.

Wielandt (1939) demostró que la torre de automorfismo de cada grupo finito sin centro termina en un número finito de pasos. Hulse (1970) demostró que la torre de automorfismo de cualquier grupo policíclico sin centro termina en un número número ordinal de pasos.

Simon Thomas ( aquí en MO ) demostró (1985) en general que la torre de automorfismo de cualquier grupo sin centro $G$ termina antes de la etapa $(2^{|G|})^+$ muchos pasos.

Este límite en la altura de la torre de automorfismo es estrictamente mayor que el continuo, incluso cuando el tamaño del del grupo no lo es, por lo que parece ser un ejemplo del fenómeno deseado. (Hay un sentido teórico del conjunto (Just, Shelah y Thomas) en el que no se puede esperar demostrar una mejor límite).

Los documentos de Thomas están disponibles en su página web página web .

Mientras tanto, en el caso de los grupos no centrados, demostré que todo grupo tiene una torre de automorfismo transfinito terminante (véase Actas AMS 126 (1998) ). La prueba procede mostrando que toda torre de automorfismo conduce finalmente a un grupo sin centro, y luego apela al teorema de Thomas. También hay una encuesta fácil artículo disponible.

Para grupos generales, el mejor límite superior conocido para la altura de la torre de automorfismo es esencialmente el siguiente cardinal inaccesible. Incluso para los grupos finitos, no hay límite superior razonable en el caso general (no centrado).

También se debatió el tema en este modus operandi pregunta .

Answer 3

Una de las formas más rápidas de demostrar que existen subconjuntos de la recta real medibles por Lebesgue que no son medibles por Borel es calcular la cardinalidad de la recta de Lebesgue $\sigma$ -y el álgebra de Borel $\sigma$ -Álgebra. La primera tiene cardinalidad $2^{2^{\aleph_0}}$ (contiene el conjunto de potencias del conjunto de Cantor), mientras que este último tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$ (por la construcción de inducción transfinita de la Borel $\sigma$ -álgebra).

EDIT: Otro lugar en el que pueden aparecer conjuntos de mayor cardinalidad (aunque en la actualidad sigue siendo algo raro) es en el análisis no estándar. La construcción habitual de modelos no estándar requiere sólo ultraproductos contables, que no aumentan mucho la cardinalidad. Por otra parte, como consecuencia, los modelos que se obtienen son sólo contablemente saturado . Se puede pedir más saturación tomando ultraproductos más grandes. De hecho, si se itera este proceso hasta un cardinal inaccesible, se acaba obteniendo un modelo monstruosamente grande que tiene saturación en todas las cardinalidades menores que la del modelo. Estos modelos se han utilizado ocasionalmente en el análisis (por ejemplo, en un reciente papel de Hrushovski para atacar la conjetura del "teorema de Freiman no conmutativo") pero se puede adoptar la posición de que estas herramientas son en gran medida una conveniencia, y que se podría trabajar con un modelo mucho menos saturado y seguir obteniendo las mismas aplicaciones al final del día (pero quizás con un argumento más largo).

Deduzco que algo análogo ocurre en la geometría aritmética, en la que es conveniente trabajar con universos de Grothendieck que son de nuevo del tamaño de cardinales inaccesibles para obtener propiedades similares a la saturación, pero que esto no es absolutamente necesario. (Aunque, creo que las únicas pruebas existentes del último teorema de Fermat, por ejemplo, siguen utilizando en última instancia los universos de Grothendieck, aunque quizás no de forma especialmente esencial).

Answer 4

Para $X$ un contable $T_{3_{1/2}}$ espacio entonces la compatificación Stone-Cech $\beta(X)$ tiene tamaño $2^{2^{\aleph_0}}$ .

También Shelah ha escrito cosas sobre los espacios Dowker de tamaño $\aleph_{\omega+1}$ .

Todavía en la topología, $\mathbb{N}^{\aleph_1}$ no es un espacio Cech-completo. Recordemos que un espacio Cech-completo es un espacio donde el resto $\beta(X) \backslash X$ es un $G_\delta$ conjunto.

Answer 5

Esto se acerca a la respuesta de alephomega, pero parece menos teórica. $\beta\mathbb N$ la compactación Stone-Cech de los números naturales es el espectro de la conmutativa $C^*$ -Álgebra $\ell^\infty$ . Como se ha señalado anteriormente, el conjunto es de tamaño $2^{2^{\aleph_0}}$ .

Para varios resultados sobre la teoría de Ramsey de $\mathbb N$ (teorema de Hindman, teorema de Hales-Jewett, incluso teorema de van der Waerden) es muy útil considerar semigrupos compactos que son compactaciones Stone-Cech de semigrupos discretos contables. Como espacios topológicos son homeomorfos a $\beta\mathbb N$ .

En la misma dirección, el PO menciona conjuntos "incontables", lo que suele significar conjuntos de tamaño $2^{\aleph_0}$ . En el teorema de la estructura de Furstenberg que se utiliza en su demostración del teorema de Szemeredi de Szemeredi, el cardinal (o más bien, el ordinal) $\aleph_1$ figura de forma destacada.

Tengo dificultades para encontrar un conjunto de tamaño mayor que $2^{2^{\aleph_0}}$ que surge en las matemáticas ordinarias, sin embargo.

Parece que los verdaderos "grandes cardenales" aparecen más a menudo en este contexto:

La afirmación de que hay un no trivial, $\sigma$ -medida aditiva en $\mathbb R$ (es decir, uno que mide cada conjunto) es equiconsistente con la existencia de un cardinal medible.
Un cardinal medible es un cardinal grande en el sentido teórico del conjunto. En particular, no se puede alcanzar desde $\aleph_0$ iterando exponenciales con frecuencia finita.

La existencia de un universo de Grothendieck equivale a la existencia de un cardinal inaccesible, otra noción de gran cardinal.