¿Por qué la "W" en CGWH (espacios de Hausdorff débilmente generados de forma compacta)?

Question

En su artículo de 1967 Una categoría conveniente de espacios topológicos , Norman Steenrod introdujo la categoría CGH de espacios de Hausdorff generados de forma compacta como un buen reemplazo de la categoría Top espacios topológicos, con el fin de hacer la teoría de la homotopía.

La diferencia más importante entre CGH y Top es que en CGH existe un homeomorfismo functorial $$\mathrm{map}(X,\mathrm{map}(Y,Z))\cong \mathrm{map}(X\times Y,Z),$$ un hecho que sólo es cierto en Top bajo el supuesto adicional de que $Y$ es localmente compacto.

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Pero en documentos más recientes, veo que la gente utiliza CG W H espacios en lugar de CGH espacios... ¿Por qué?

¿Podría alguien explicarme qué es lo que falla en CGH espacios (por favor, ilustre con un ejemplo),
y explicar cómo el "w" ¿Arregla todo?

Además (siguiendo el comentario de Jeff), ¿a quién debe dirigirse el "w" ¿se le puede atribuir?

Un deseo más: ¿puede alguien darme un ejemplo de un CGWH espacio que no es CGH ?

Answer 1

I creer que los espacios CGWH se utilizaron por primera vez en un sistemática manera en el trabajo de Lewis-May-Steinberger sobre los espectros. Ciertamente, la tesis (no publicada) de Gaunce Lewis contiene la mejor referencia sobre los espacios CGWH que conozco. (No he mirado el trabajo de McCord que menciona Andrey. Actualización: Habiendo mirado el artículo de McCord, efectivamente parece ser el que introduce el CGWH (cuya idea atribuye a J.C. Moore).

En cuanto a por qué se prefiere utilizar los espacios CGWH, no estoy precisamente seguro. Pero he aquí una posibilidad.

Una propiedad clave de la categoría de espacios CG es que el producto de un mapa cociente con un espacio sigue siendo un mapa cociente. En los espacios CGWH ocurre algo aún más bonito: cualquier retroceso de un mapa cociente (a lo largo de cualquier mapa) sigue siendo un mapa cociente. (No sé si este hecho más agradable falla en CGH, pero sospecho que sí).

Otro hecho agradable sobre CGWH: los monomorfismos regulares son precisamente las inclusiones cerradas. ("Monomorfismo regular" significa que el monomorfismo es un igualador de algún par). (Originalmente dije aquí que los epis regulares en CGWH son precisamente mapas cocientes, pero al reflexionar no estoy seguro de que esto sea cierto).

Answer 2

Una búsqueda en Internet sugiere que la categoría de CGWH espacios se introdujo en el documento "Espacios clasificatorios y productos simétricos infinitos" por M. C. McCord (Transactions of the American Mathematical Society Vol. 146, (1969), pp. 273-298).

McCord motivó la introducción de su axioma de separación "Hausdorff débil" señalando que

"el requisito de la condición de Hausdorff puede ser un problema porque ciertas operaciones estándar sobre espacios pueden llevar fuera de la categoría", en particular los espacios cotizados en topología algebraica y álgebra topológica.

Answer 3

Este es quizás el ejemplo más sencillo de un espacio CGWH que no es Hausdorff.

Comience con un espacio métrico contable X de manera que, con una excepción x, cada punto es abierto, pero de manera que en el punto excepcional, X no es localmente compacto en x.

Es fácil encontrar tal subespacio de la línea real. ( empieza con 0 y (1/n)+(1/(m+n)) Ahora borre cada 1/n).

Sea Y la compactación de un punto, añadiendo a X un nuevo punto y, cuyos complementos de vecindad son compactos en X. En el nuevo espacio Y, los subconjuntos compactos son cerrados (y en particular Y es WH), pero x e y son inseparables.

Véase, por ejemplo, el ejemplo 99 de Counterexamples in Topology de Steen y Seebach.

Answer 4

En el [siguiente respuesta] a una pregunta estrechamente relacionada, Peter May explica una característica crucial de los espacios CGWH que no comparten los espacios CGH.

Answer 5

Para completar mi comentario anterior: en la Errata to Geometry of Iterated Loop Spaces (p. 485 aquí: http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/homo_iter.pdf ) May afirma que debería haber utilizado espacios Hausdorff débiles "para validar algunos argumentos de límite". No estoy seguro de lo que quiere decir exactamente; en particular, creo que se refiere a los argumentos de colímite.