La evaluación de $\displaystyle\int_0^1\frac{\sqrt{1-y^2}}{1+y^2}dy$ sin sustitución trigonométrica

Question

Un problema en nuestro cálculo de texto requiere la evaluación de la $\displaystyle\int_0^1\frac{\sqrt{1-y^2}}{1+y^2}dy$,

y He evaluado mediante la sustitución de $y=\sin\theta$ (o $y=\tanh u$) y, a continuación, utilizando otra sustitución parcial y fracciones; pero me gustaría saber si hay una manera más sencilla de encontrar esta integral que no involucrar a trigonométricas sustitución (o hiperbólico de sustitución).

(Sé que algunos MSE personas no gustan de este tipo de pregunta, así que pido disculpas por adelantado).

Answer 1

Sugerencia:

$$t=y^2$$

$$dy=\frac{1}{2\sqrt t}dt$$

entonces

$$I=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{\sqrt{\frac{1-t}{t}}}{1+t}dt$$ $$\frac{1-t}{t}=u^2$$

por lo$$t=\frac{1}{1+u^2} $$

$$I=\int_0^{\infty}\frac{u^2}{(u^2+1)(u^2+2)}du=\int_0^{\infty}(\frac{2}{u^2+2}-\frac{1}{u^2+1})du$$ a continuación, se puede resolver sin trigonométricas sustitución por saber que

$$\int_0^{\infty}\frac{1}{u^2+1}du=\frac{\pi}{2}$$

Answer 2

Vamos que tomar el "espantoso" ruta de acceso. $$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x^2}\,dx&=&\sum_{n\geq 0}(-1)^n\int_{0}^{1}x^{2n}\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{4}\sum_{n\geq 0}(-1)^n\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(n+2)}\\&=&\frac{\pi}{4}\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{4^n(n+1)}\binom{2n}{n}=\left.\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}\right|_{x=-1}\\&=&\color{red}{\frac{\pi}{2}(\sqrt{2}-1)}.\end{eqnarray*}$$ No es tan doloroso, después de todo, si uno recuerda la generación de la función de los números de catalán.

Pasos para participar:

• la expansión de $\frac{1}{1+x^2}$ como una serie geométrica;
• la integración de $x^{\alpha}(1-x)^{\beta}$ $[0,1]$ a través de la función beta de Euler;
• reescribir en términos de la central de los coeficientes binomiales;
• la evaluación a través de la generación de la función de los números de catalán.

Answer 3

Voy a tratar de darle un enfoque de esta integral mediante el análisis complejo:

Primero de todo nos gustaría tener una forma de la integral que es más fácilmente manejable por el contorno de la integración, lo cual (al menos para mí) significa que

• es como obivious como es posible adivinar el contorno, que puede ser utilizado

• el polo de corte/de la estructura es tan clara como sea posible

Una forma de hacerlo, es la explotación de la paridad en el integrando y transformar $y\rightarrow 1/x$. Obtenemos: $$ I=\frac{1}{2}P\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\frac{\sqrt{x^2-1}}{1+x^2}dx $$

Aquí $P$ denota Cauchy principal valor. Ahora puede considerar la función compleja

$$ f(z)=\frac{1}{z}\frac{\sqrt{z^2-1}}{1+z^2} $$

La elección de la rama estándar de los logaritmos, tenemos un corte en el intervalo de $[-1,1]$, además, tenemos singularidades en $\{\pm i,0\}$ donde los dos primeros son inofensivas, pero el uno a cero en el corte y tendrá que ser handeled con cuidado.

Ahora puede elegir un contorno que encierra la rama de corte y evita la singularidad en 0. obtenemos:

$$ \cualquier f(z)dz = \underbrace{\int_{-1}^{-\epsilon}f(x_+)+\int_{\epsilon}^{1}f(x_+)}_{2I}+\int_{\text{arg}(z)\in(\pi,0],|z|=\epsilon}f(z)dz\\-\underbrace{\int_{-1}^{-\epsilon}f(x_-)-\int_{\epsilon}^{1}f(x_-)}_{-2I}-\int_{\text{arg}(z)\in[0,-\pi), |z|=\epsilon}f(z)dz=\\ 4I+\underbrace{2\int_{\text{arg}(z)\(\pi,0], |z|=\epsilon}f(z)dz}_{2 \times \pi i\ \times \text{res}[f(z),z=0] }=\\ 4I +2\pi \quad (1) $$

Donde $\text{res}[f(z),z=0]=i$ porque nos calcula el residuo de arriba de la rama cortada. Además $f(x_{\pm})$ indica sobre qué lado de la corte de que estamos hablando: $\pm$ arriba/abajo. También el límite de $\epsilon \rightarrow 0$ es implícita.

Ahora viene el truco: Mirando el exterior del contorno también podemos escribir (por favor, tenga en cuenta que ahora nos encierran las singularidades en la dirección opuesta en comparación con la anterior)

$$ \cualquier f(z)dz=-2\pi i \times(\text{res}[f(z),z=i]+ \text{res}[f(z),z=-i])=2\sqrt{2}\pi \quad (2) $$

La equiparación de la $(1)=(2)$

$$ 4I+2\pi=2\sqrt{2}\pi\\ $$ o $$ I=\frac{\pi}{2}\left(\sqrt{2}-1\right) $$

que es el mismo resultado que el obtenido por trigonometría. la sustitución.