¿Por qué hay un parecido tan grande entre la teoría de representación unitaria del álgebra de Virasoro y la del álgebra de Temperley-Lieb?

Question

Para aquellos que no estén familiarizados con el Virasoro o Temperley-Lieb álgebras, incluyo algunas definiciones:

- El (álgebra envolvente universal del) Álgebra de Virasoro es el $\star$ -Álgebra $Vir_c$ generados por elementos $L_n$ , ( $n \in \mathbb{Z}$ ), con sujeción a las relaciones $$ [L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}, $$ y con $\star$ -estructura $L_n^* = L_{-n}$ .

- El Álgebra de Temperley-Lieb es el $\star$ -Álgebra $TL_{\delta}$ con generadores $U_i$ ( $i \in \mathbb{Z}$ ) y las relaciones :

• $U_i^2 = \delta U_i$ y $*$ -estructura $U_i^* = U_i$ .
• $U_iU_{i+1}U_i=U_i$ y $U_iU_{i-1}U_i=U_i$
• $U_i U_j=U_j U_i$ para $|i-j|\ge 2$

Ambos $Vir_c$ y $TL_{\delta}$ dependen de un parámetro. Estos son los números $c$ y $\delta \in \mathbb{R}$ .

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Llamemos a una representación $\rho$ de un $\star$ -en un espacio de Hilbert unitario si $\rho(x^*)=\rho(x)^*$ .
Nos interesan las representaciones unitarias de $Vir_c$ y $TL_{\delta}$ . En el caso del álgebra de Virasoro, restringimos además las representaciones de energía positiva, es decir, representaciones unitarias en las que el espectro de $L_0$ es positivo. Según el valor de los parámetros $c$ o $\delta$ pueden ocurrir tres cosas:

1. Las series discretas (sólo) de los cocientes de los módulos de Verma son unitarias y de energía positiva.
2. Continuidad de Módulos Verma son representaciones unitarias de energía positiva.
3. Los módulos de Verma no son unitarios.

Esto es lo más llamativo:

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} & \text{Discrete series} & \text{Continuum} & \text{Others} \newline \hline Vir_c & c \in \{ 1-\frac{6}{m(m+1)} \vert m = 2,3,4 \ldots \} &c \in [1,\infty) & \text{non-unitary} \newline \hline TL_\delta & \delta\in \{ 2\cos\big(\frac\pi m\big)\quad \vert \quad m = 2,3,4 \ldots \} &\delta \in [2,\infty) & \text{non-unitary} \end{array}$

Los parámetros $c$ y $\delta$ pertenecen a un conjunto contable (serie discreta) que presenta un punto de acumulación, seguido de un continuo.

• ¿Es pura coincidencia que esas dos álgebras presenten un comportamiento tan similar?
• ¿Hay algún mapa natural de $Vir_c$ a $TL_{\delta}$ ¿o viceversa?
• ¿Hay alguna manera de vincular los valores $c\in 1-\frac{6}{m(m+1)}$ y $\delta\in 2\cos(\frac\pi m)$ ?
• ¿Existen otras álgebras que presenten un fenómeno similar?

Answer 1

Resumen de una explicación :

Subfactores de Jones-Wassermann para el álgebra de bucles :
Dejemos que $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_{2}$ sea el álgebra de Lie, $L\mathfrak{g}$ su álgebra de bucle y $\mathcal{L}\mathfrak{g} = L\mathfrak{g} \oplus \mathbb{C}\mathcal{L}$ la extensión central :
$$[X^{a}_{n},X^{b}_{m}] = [X^{a},X^{b}]_{m+n} + m\delta_{ab}\delta_{m+n}\mathcal{L}$$ con $(X^{a})$ la base de $\mathfrak{g}$ . Las representaciones unitarias de mayor peso de $\mathcal{L}\mathfrak{g}$ son $(H_{i}^{\ell},\pi_{i}^{\ell})$ con :

• $\mathcal{L} \Omega = \ell \Omega$ con $\ell \in \mathbb{N}$ el nivel, y $\Omega$ el vector de vacío.

• $i \in \frac{1}{2}\mathbb{N}$ y $i \le \frac{\ell}{2}$ el espín (relacionado con la representación irreducible $V_{i}$ de $\mathfrak{g}$ )

Dejemos que $I \subset \mathbb{S}^{1}$ un intervalo, y $\mathcal{L}_{I}\mathfrak{g}$ el álgebra de Lie local generada por $(X^{a}_{f})$ con :

• $f(\theta) = \sum \alpha_{n}e^{in\theta}$ y $f \in C^{\infty}_{I}(\mathbb{S}^{1})$
• $X^{a}_{f} = \sum \alpha_{n}X^{a}_{n}$

Dejemos que $\mathcal{M}_{i}^{\ell}(I)$ sea el álgebra de von Neumann generada por $\pi_{i}^{\ell}(\mathcal{L}_{I}\mathfrak{g})$ .
Obtenemos el Subfactor de Jones-Wassermann :
$$\mathcal{M}_{i}^{\ell}(I) \subset \mathcal{M}_{i}^{\ell}(I^{c})'$$ del índice $\frac{sin^{2}(p\pi/m)}{sin^{2}(\pi/m)}$ con $m=\ell + 2$ y $p=2i+1$ .
Su gráfico principal viene dado por las reglas de fusión :
$$H_{i}^{\ell} \boxtimes H_{j}^{\ell} = \bigoplus_{k \in \langle i,j \rangle_{\ell}}H_{k}^{\ell}$$ con $\langle a,b \rangle_{n} = \{c=\vert a-b \vert, \vert a-b \vert+1,... \vert c \le a+b , a+b+c \le n \}$
Dejemos que $\mathcal{R}_{\ell}$ sea el anillo de fusión generado.

Caso Temperley-Lieb (con $\ell \ge 1$ ) :
Si $i=1/2$ entonces index= $\frac{sin^{2}(2\pi/(\ell+2))}{sin^{2}(\pi/(\ell+2))} = \delta^{2}$ con $\delta = 2cos(\frac{\pi}{\ell+2})$ y el gráfico principal es $A_{\ell+1}$ .
En este caso, se sabe que los subfactores están completamente clasificados por su gráfico principal.
El subfactor álgebra plana que genera es el Temperley-Lieb álgebra plana $TL_{\delta}$ .

Subfactores de Jones-Wassermann para el álgebra de Virasoro :
Dejemos que $\mathfrak{W}$ sea el álgebra de Lie generada por $d_{n} = ie^{in\theta}\frac{d}{d\theta}$ y $\mathfrak{Vir} = \mathfrak{W} \oplus C \mathbb{C}$ su extensión central: $$ [L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{C}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}, $$ Sus representaciones en serie discreta son $(H_{pq}^{m})$ con :

• $C\Omega = c_{m} \Omega$ con $c_{m}= 1-\frac{6}{m(m+1)}$ para $m=2,3,...$
• $L_{0} \Omega = h^{pq}_{m} \Omega$ con $h^{pq}_{m} = \frac{[(m+1)p-mq]^{2}-1}{4m(m+1)}$ con $1 \le p \le m-1$ y $1 \le q \le p $

En cuanto al álgebra del bucle, hay $\mathfrak{Vir}_{I}$ y $\mathcal{N}_{pq}^{m}(I)$ generado por $\pi_{pq}^{m}(\mathfrak{Vir}_{I})$ .
Obtenemos el Subfactor de Jones-Wassermann :
$$\mathcal{N}_{pq}^{m}(I) \subset \mathcal{N}_{pq}^{m}(I^{c})'$$ del índice $\frac{sin^{2}(p\pi/m)}{sin^{2}(\pi/m)}.\frac{sin^{2}(q\pi/(m+1))}{sin^{2}(\pi/(m+1))}$ . Su gráfico principal viene dado por las reglas de fusión :
$$H_{pq}^{m} \boxtimes H_{p'q'}^{m} = \bigoplus_{(i'',j'') \in \langle i,i' \rangle_{\ell} \times \langle j,j' \rangle_{\ell + 1} }H_{p''q''}^{m}$$ con $p=2i+1, q=2j+1, p'=2i'+1, ..., m=\ell+2$

Dejemos que $\mathcal{T}_{m}$ sea el anillo de fusión que generan, es un fácil cociente de $\mathcal{R}_{\ell} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{R}_{\ell+1}$ con $\mathcal{R}_{\ell}$ el anillo de fusión obtenido anteriormente para el álgebra de bucles.

Caso Temperley-Lieb (con $m \ge 3$ ) :
Si $(p,q) = (2,1)$ , índice $=\frac{sin^{2}(2\pi/m)}{sin^{2}(\pi/m)} = \delta^{2}$ con $\delta = 2cos(\frac{\pi}{m})$ y el gráfico principal es $A_{m-1}$ .
Como en el caso anterior, el subfactor álgebra plana es Temperley-Lieb $TL_{\delta}$ .

$\rightarrow$ Obtenemos los mapas naturales $c \leftrightarrow \delta$ y $\mathfrak{Vir}_{c} \leftrightarrow TL_{\delta}$ que usted esperaba.

Generalizaciones para fenómenos similares :
He aquí una lista de posibilidades:

• tomar $i$ que no sea $1/2$ o $(p,q)$ que no sea $(2,1)$
• tomar $\mathfrak{g}$ que no sea $\mathfrak{sl}_{2}$
• tomar la serie continua
• tomar un $N$ -extensión supersimétrica de $\mathfrak{Vir}$ : $N=1$ para las álgebras de Neveu-Schwarz y Ramond.

Referencias :
- V.F.R. Jones, Fusión en álgebras de von Neumann y grupos de encaje (según A. Wassermann) Seminario Bourbaki, Vol. 1994/95. Asterisco nº 237 (1996), Exp. No. 800, 5, 251--273 .
- T. Loke, Álgebras de operadores y teoría del campo conforme para las representaciones en serie discretas de $\textrm{Diff}(\mathbb{S}^{1})$ Tesis, Cambridge 1994.
- S. Palcoux, Neveu-Schwarz y las álgebras de operadores I : Superálgebras de operadores de vértice , arXiv:1010.0078 (2010)
- S. Palcoux, Neveu-Schwarz y álgebras de operadores II : Series y caracteres unitarios , arXiv:1010.0077 (2010)
- S. Palcoux, Neveu-Schwarz y álgebras de operadores III : Subfactores y fusión de Connes , arXiv:1010.0076 (2010)
- V. Toledano Laredo, Fusión de representaciones de energía positiva de LSpin(2n) Tesis, Cambridge 1997, arXiv:math/0409044 (2004)
- R. W. Verrill, Representaciones energéticas positivas de $L^{\sigma}SU(2r)$ y la fusión de orbifolios. tesis, Cambridge 2001.
- A. J. Wassermann, Álgebras de operadores y teoría de campos conformes. Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Vol. 1, 2 (Zúrich, 1994), 966--979, Birkhuser, Basilea, 1995.
- A. J. Wassermann, Álgebras de operadores y teoría de campos conformes. III. Fusión de representaciones de energía positiva de ${\rm LSU}(N)$ utilizando operadores acotados. Inventar. Math. 133 (1998), no. 3, 467--538 .
- A. J. Wassermann, Álgebras de Kac-Moody y Virasoro , 1998, arXiv:1004.1287 (2010)
- A. J. Wassermann, Subfactores y fusión de Connes para grupos de bucles retorcidos , arXiv:1003.2292 (2010)

Answer 2

El álgebra de Cherednik tiene una clasificación similar en series discretas y unitarias: véase arXiv:1106.5094 y arXiv:0901.4595. Estrictamente hablando, estos artículos clasifican los irreducibles unitarios en la categoría O. No sé si hay una categoría mayor en la que existan formas contravariantes, pero en cualquier caso para la categoría de grupos simétricos O estará estrechamente ligada a las álgebras de Lie afines (por tanto a Virasoro) por el functor Arakawa-Suzuki, y a Hecke (por tanto a las álgebras TL) por el functor Knizhnik-Zamolodchikov (que en realidad identifica O con la categoría de módulos q-Schur para la mayoría de los valores del parámetro). Quizá el álgebra de Cherednik pueda servir de puente entre ambas: Etingof conjetura (cierto por comprobación caso por caso para el grupo simétrico) que KZ de un módulo unitario es unitario, y es cierto (de nuevo caso por caso) que a través de Arakawa-Suzuki los módulos unitarios (es decir, los módulos integrables) para afines $gl_n$ corresponden a módulos unitarios para el álgebra de Cherednik.

Al menos para el grupo simétrico, la cuestión de cuándo hay un módulo unitario fiel en O no es muy interesante: siempre hay uno (ya sea $L_c(triv)$ o $L_c(sign)$ funcionará). Pero si se quiere hacer la conexión con la TL y el trabajo del álgebra de Virasoro probablemente se necesiten más detalles.

Todo módulo del álgebra de Cherednik es, en particular, un módulo sobre un anillo C[V] de funciones polinómicas sobre un espacio vectorial V, y su soporte es una subvariedad de V. Los unitarios fieles deberían ser los unitarios con soporte completo (no lo he comprobado, aunque una dirección es obvia).

En el caso (mucho más sencillo) del álgebra de Cherednik del grupo simétrico $S_n$ El álgebra depende de un parámetro c, que podemos suponer positivo. Los irreducibles en O están indexados por los irreducibles $S_n$ -y, por tanto, por particiones de n. Escribiendo $a(\lambda)$ para la mayor longitud de gancho de la partición $\lambda$ y $b(\lambda)$ para una cierta longitud de gancho menor (ver el documento de Etingof/Stoica para las def'ns precisas), el correspondiente irreducible $L_c(\lambda)$ es unitario si $\lambda=(1^n)$ (correspondiente a la representación del signo), o $c \leq a(\lambda)$ o $c=1/m$ para un número entero positivo $m$ con $m \leq b(\lambda)$ . La parte continua del conjunto unitario es precisamente el cierre del conjunto donde el módulo estándar correspondiente es irreducible y unitario (esto no es sorprendente: la condición para que la forma contravariante sea definida positiva en el módulo estándar es abierta, y es obviamente pos. def. en $0$ ).

El módulo $L_c(\lambda)$ tiene pleno apoyo si: $c$ no es racional o $c=k/m$ y la partición es $m$ -regular: las diferencias $\lambda_i-\lambda_{i+1}$ son estrictamente menores que $m$ . Así, $L_c(\lambda)$ es unitario de soporte completo si (1) $\lambda=(1^n)$ , (2) $\lambda=(n)$ y $0 \leq c < 1/n$ , (3) $\lambda \neq (n),(1^n)$ es un rectángulo y $c \in [0,1/a(\lambda)]$ o $c=1/m$ para un número entero positivo $m$ con $m<b(\lambda)$ , (4) $\lambda$ no es un rectángulo y $c \in [0,1/a(\lambda)]$ o $c=1/m$ para un número entero positivo $m$ con $m \leq b(\lambda)$ .

Tomando la $n \rightarrow \infty$ límite de todo esto debería ser posible; se me está acabando el tiempo otra vez.

Answer 3

Creo que no es una coincidencia, aunque la única relación que se me ocurre es un poco lejana. A grandes rasgos, es así: De las representaciones de energía positiva de las álgebras afines de Kac-Moody se obtienen ciertos valores de $c$ en la serie discreta. Las álgebras TL aparecen como álgebras centralizadoras de la cuántica $\mathfrak{sl}_2$ (es decir $End(V^{\otimes n})$ para $V$ la representación "vectorial"). En las raíces de la unidad se obtiene la serie discreta TL (aquí $\delta$ es el $q$ -dimensión de $V$ . Por otra parte, el producto tensorial que preserva el nivel en reps. del álgebra afín de Kac-Moody de tipo $A$ da una categoría de fusión equivalente a la que se obtiene de la situación del grupo cuántico (debido a Finkelberg, aunque Lepowsky me dice que hay una pequeña brecha que se puede arreglar usando VOAs).

Así que supongo que estoy diciendo que hay una especie de relación de dualidad Schur-Weyl. Esto no se limita al tipo $A$ situación, por ejemplo, las álgebras de BMW muestran un comportamiento similar que corresponde al tipo $BCD$ grupos cuánticos (o álgebras afines de Kac-Moody).

Probablemente el lenguaje apropiado a utilizar es el de las categorías tensoriales asociadas a los grupos cuánticos. En las raíces de la unidad se obtienen repeticiones unitarias (véase el trabajo de Wenzl o Xu al respecto) que dan lugar a una serie discreta que (al menos combinatoriamente) corresponde a productos de fusión que conservan el nivel para las álgebras de Kac-Moody, que son los responsables de la situación del álgebra de Virasoro. Para las no raíces de la unidad se sigue obteniendo una serie continua de repeticiones unitarias.