¿Cuándo es una clase de homología representada por un submanifold?

Question

Posibles Duplicados:
Cohomology y clases fundamentales

Dada una orientada al colector $M$ y una orientada a submanifold $\phi:N\to M$ podemos obtener una homología de la clase $\phi_*[N]\in H_*(M)$ donde $[N]$ es la clase fundamental de $N$. En general, no es cierto que cada homología clase de $M$ puede ser representado por un submanifold de esta manera, sin embargo, para algunos casos especiales es.

Por ejemplo, para $M$ una orientada (y cerrado, tal vez?) 4-colector de cada clase de homología puede ser representado por un submanifold. Otro ejemplo es cuando se $M$ Euclidiana espacio de configuración.

Mis preguntas son:

1) ¿Bajo qué circunstancias puede cada homología clase de $M$ ser representado por un submanifold y

2) ¿cuáles son algunos ejemplos de colectores que tienen homología de clases no representable de esta manera?

Answer 1

Una disminución en la pregunta reemplaza "homología de clase de un incrustado submanifold" con $f_{\ast}([M])$ para algunos compacto liso colector $M$ y un arbitrario mapa continuo $f:M \rightarrow X$. Una vez que usted da para arriba mirando incrustado submanifolds, tampoco hay razón para restringir el mismo a $X$ siendo un colector.

Mucho fue probado sobre esto por Thom en su clásico papel de "Quelques propriétés globales des variétés différentiables", que es más famoso por contener su trabajo en cobordism teoría. Algunos de los resultados contenidos en ese documento son de la siguiente manera.

1) Cada mod $2$ de homología de la clase puede ser así representados.

2) de forma Íntegra, es cierto para cada clase en $H_k$ para $k \leq 6$.

3) Para cada $k \geq 7$, existen poliedros $X$ y clases en $H_k(X)$ que no puede ser representado.

EDIT : también hay que remarcar que el de arriba es afín a la pregunta original también en muchos de los casos. Es decir, si $X$ es un buen $n$-colector y $M$ es un compacto liso $k$-colector y $f:M \rightarrow X$ es arbitrario, entonces $f$ es homotópica a una incrustación mientras $k < n/2$.

Answer 2

Aquí hay un par de simples respuestas a la pregunta que le preguntó:

1. Cada clase en $H_{n-1}(M;Z)$ para $M$ orientable está representado por un submanifold: elija un suave mapa de $f:M\to S^1$ lo que representa el Poincaré dual en $H^1(M;Z)=[M,S^1]$ y tomar la preimagen de un punto. En dimensiones>2 se puede tomar conectado.

2. Del mismo modo, cada clase en $H_{n-2}(M;Z)$ para $M$ orientable está representado por un submanifold: elija un suave mapa de $f:M\to CP^\infty$ lo que representa el Poincaré dual en $H^2(M;Z)=[M,CP^\infty]$, homotop $f$ a de un número finito de esqueleto, decir $CP^N$, y tomar la preimagen de $CP^{N-1}$.

3. La transversalidad dice que si puede representar $x\in H_k(M)$ por un mapa de un buen colector (por ejemplo, los elementos de la imagen de la Hurewicz mapa, o por Thom) , y $2k < n$, entonces se puede representar por una incrustado submanifold (como Andy menciona más arriba). Por ejemplo, cualquier clase en $H_1(M)$ para $dim(M)\ge 3$. Con cuidado, usted también puede hacer este trabajo por $2k=n$, y hay técnicas disponibles en la "metaestable" de la gama (no el triple de puntos) la participación de las generalizaciones de Whitney truco y otras maneras de reemplazar el doble de puntos.

Answer 3

Si realmente quieres un submanifold, supongo que no siempre puedes hacerlo. Para una variedad cerrada$M$ considere dos veces la clase fundamental$2[M]$. Es fácil ver que no puede representar esta clase como un submanifold cuando$M=S^1$. ¿Quizás si toma alguna clase en$a\in H_*(M)$ con auto intersección distinta de cero, entonces$2a$ no puede representarse como un submanifold?