Cálculos explícitos con la medida de Haar

Question

Esta pregunta está relacionada en cierto modo con mi pregunta anterior sobre Grassmanianos. Las pocas veces que me he topado con la medida de Haar a lo largo de mi formación matemática, siempre se ha utilizado en un marco muy teórico: en el marco adecuado, existe, es única (si el marco es vraiment nice), y se puede integrar contra ella para definir nuevos objetos que tendrán propiedades nice porque la propia medida las tiene.

Así que mi pregunta es: ¿hasta qué punto es práctico calcular con él? Me refiero a ejemplos muy concretos, por ejemplo, "G=O(4), integro f(M)=[alguna función explícita con una matriz de entrada] y la respuesta que obtengo es 42". De las conversaciones, tengo la sensación de que la construcción de la medida de Haar te permite en principio para escribir explícitamente un cálculo de este tipo. Me preocupa la trazabilidad del cálculo en sí. Ejemplos sería genial.

Answer 1

Quizá te interese la Fórmula de integración de Weyl. Hay versiones de la misma para todos los grupos de Lie compactos; la expondré para el grupo unitario.

Sea $f$ sea una función invariante de conjugación en $U(n)$ . Una matriz unitaria siempre tiene valores propios de la forma $(e^{i \theta_1}, e^{i \theta_2}, \ldots, e^{i \theta_n})$ y $f$ es una función simétrica de $(\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n)$ . Entonces

$$\int_{U(n)} f(A) \ dA = \frac{1}{(2 \pi)^n n!} \int_{\theta_1=0}^{2 \pi} \int_{\theta_2=0}^{2 \pi} \ldots \int_{\theta_n=0}^{2 \pi} \prod_{j<k} |e^{i \theta_j} - e^{i \theta_k}|^2 \cdot f(\theta_1, \ldots, \theta_n) \ d \theta_1 \ \cdots \ d \theta_n$$

Aquí la medida de Haar se normaliza para que el grupo unitario tenga volumen $1$ .

Hay muchas pruebas en libros y en Internet; me gusta el artículo de Fulton and Harris's Teoría de la representación .

Answer 2

Las medidas de Haar derechas o izquierdas para un grupo de matrices pueden obtenerse de forma totalmente directa con la ayuda de las medidas de Forma Maurer-Cartan respectivamente.

Mostraré el procedimiento para la grupo estocástico de matrices estocásticas invertibles (es decir, matrices invertibles en $GL(B)$ cuyas filas suman la unidad), aunque gran parte se generaliza de forma obvia. (La motivación que tuve para resolver esto es una teoría gauge de paseos aleatorios en la red de raíces $A_n$ que terminaré uno de estos días).

Sea $R, R' \in STO(B)$ y que $R$ parametrizarse por (digamos) $\{R_{jk}\} \equiv \{R_{(j,k)}\}$ para $1 \le j \le B, k \ne j$ . Ahora bien

$\left(\mathcal{R}^{-1}\right)_{(j,k)}^{(l,m)} := \frac{\partial(RR')_{(j,k)}}{\partial R'_{(l,m)}} \Bigg|_{R'=I}$

entonces la forma Maurer-Cartan derecha en $STO(B)$ es $\omega_{(j,k)}^{(\mathcal{R})} = \mathcal{R}_{(j,k)}^{(l,m)}dR_{(l,m)}$ .

Como la forma de Maurer-Cartan derecha es invariante derecha, la medida de Haar derecha viene dada (hasta un múltiplo constante irrelevante) por

$d\mu^{(\mathcal{R})} = \underset{(j,k)}{\bigwedge} \omega_{(j,k)}^{(\mathcal{R})}.$

Una construcción similar da como resultado la medida de Haar izquierda.

Un ejemplo concreto $B=2$ . Un cálculo sencillo da como resultado

$\omega_{(1,2)}^{(\mathcal{R})} = \frac{(1-R_{21}) \cdot dR_{12} + R_{12} \cdot dR_{21}}{1-R_{12}-R_{21}}$

y

$\omega_{(2,1)}^{(\mathcal{R})} = \frac{R_{21} \cdot dR_{12} + (1-R_{12}) \cdot dR_{21}}{1-R_{12}-R_{21}}$ .

De ello se deduce que

$d\mu^{(\mathcal{R})} = \omega_{(1,2)}^{(\mathcal{R})} \land \omega_{(2,1)}^{(\mathcal{R})} = \frac{dR_{12} \land dR_{21}}{\lvert 1-R_{12}-R_{21} \rvert}$ .

(El módulo se toma en el denominador para garantizar una medida positiva y no con signo). Del mismo modo, la medida de Haar izquierda es

$d\mu^{(\mathcal{L})} = \frac{dR_{12} \land dR_{21}}{\lvert 1-R_{12}-R_{21}\rvert^2}$ .

Obsérvese que tanto la medida de Haar derecha como la izquierda asignan un volumen infinito al conjunto de matrices estocásticas no negativas (es decir, el cuadrado unitario en el $R_{12}$ - $R_{21}$ avión). Sin embargo, el comportamiento singular de las medidas se produce precisamente en el conjunto de matrices estocásticas singulares. En efecto, para $0 \le \epsilon < 1$ consideremos los conjuntos

$X_I(\epsilon) := \{(R_{12}, R_{21}) : 0 \le R_{12} \le 1-\epsilon, \ 0 \le R_{21} \le 1 - \epsilon - R_{12} \}$

$X_{II}(\epsilon) := \{(R_{12}, R_{21}) : \epsilon \le R_{12} \le 1, \ 1 + \epsilon - R_{12} \le R_{21} \le 1 \}$

y

$X(\epsilon) := X_I(\epsilon) \cup X_{II}(\epsilon)$ ,

es decir, $X(\epsilon)$ es el cuadrado unitario menos una franja de anchura $\epsilon \sqrt{2}$ centrado en la línea $1 - R_{12} - R_{21} \equiv \det R = 0$ . Entonces

$\int_{X(\epsilon)} d\mu^{(\mathcal{R})} = 2(\log \epsilon^{-1} - 1 + \epsilon)$

y

$\int_{X(\epsilon)} d\mu^{(\mathcal{L})} = 2(\epsilon^{-1} - 1)$ .

No es difícil demostrar que para $B$ arbitraria

$d\mu^{(\mathcal{R})} = \lvert \det \mathcal{R} \rvert \underset{(j,k)}{\bigwedge} dR_{jk}$ ,

y análogamente para la medida de Haar izquierda. El resultado final general es

$d\mu^{(\mathcal{R})} = \lvert \det R \rvert^{1-B} \underset{(j,k)}{\bigwedge} dR_{jk}, \quad d\mu^{(\mathcal{L})} = \lvert \det R \rvert^{-B} \underset{(j,k)}{\bigwedge} dR_{jk}$ .

Para ver esto, considere el isomorfismo entre los grupos estocásticos y afines y vea, por ejemplo ( N. Bourbaki. Elementos de Matemáticas: Integración II. Capítulos 7-9. Springer (2004) ).

Por último, un teorema de tipo Fubini (véase, por ejemplo, L. Loomis An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. Van Nostrand (1953) ) se aplica al grupo estocástico especial $SSTO(B)$ (es decir, el subgrupo de matrices estocásticas con determinación unitaria). Si, por ejemplo, los elementos de $SSTO(2)$ están parametrizadas por $R_{12}$ entonces $d\mu = \omega_{(1,2)} = dR_{12}$ es la medida de Haar (derecha e izquierda). En términos más generales, tomando $\{R_{jk}\}$ para una elección adecuada de los pares $(j,k)$ como parámetros para $SSTO(B)$ tenemos que $\mathcal{R} = I = \mathcal{L}$ y la medida de Haar para $SSTO(B)$ es (hasta la normalización)

$d\mu = \underset{(j,k)}{\bigwedge} dR_{jk}$ .

Esto puede comprobarse fácilmente de forma explícita para valores pequeños de $B$ con un paquete de álgebra computacional.

Una característica simplificadora del grupo estocástico simple es que es unimodular, por lo que las medidas de Haar izquierda y derecha coinciden. Además, la medida de Haar del conjunto de no negativo matrices estocásticas especiales es (finita, y w/l/o/g es igual a) la unidad. (Para $SSTO(B)$ la constante que multiplica el lado derecho de la ecuación anterior y que proporciona esta normalización puede demostrarse que es $((B-1)!)^{B-1}(B-2)!$ .) Aunque este conjunto no es invariante, es un semigrupo y es obviamente privilegiado en contextos probabilísticos.

Answer 3

Para realizar los cálculos necesita encontrar un ejemplo de medida de Haar en su grupo. Los primeros ejercicios de la Sección 5, Capítulo XII de Lang's Real and Functional Analysis dan fórmulas para la medida de Haar en algunos grupos (el ejercicio 9 es un grupo no abeliano). El capítulo 14 de Royden's Real Analysis da un método de Hurwitz para calcular la medida de Haar en grupos de Lie. El propio Hurwitz lo desarrolló para grupos ortogonales a finales del siglo XIX, antes de que se conociera la existencia de medidas invariantes generales en grupos localmente compactos.

Answer 4

Una pregunta muy interesante. Como me dijo hace poco un destacado analista armónico, cuando le pregunté dónde podía aprender a hacer cálculos explícitos en espacios hiperbólicos: "no es fácil encontrar referencias, y todo es culpa de Sigurdur Helgason". Estaba bromeando, por supuesto, pero en el fondo quería decir: ahora se entiende implícitamente que para cada una de tus preguntas hay una fórmula en algún libro de SH, así que ¿para qué preguntas? lee los libros. Pero, por el contrario, esas fórmulas elegantes y generales no son de ninguna ayuda si realmente quieres calcular algo: básicamente sigues necesitando mucho trabajo, elegir las coordenadas adecuadas, escribir fórmulas explícitas para cada cosa de Harish-Chandra, etc. Un desarrollo más lento del tema habría sido más útil, ya tendríamos disponibles libros sobre casos especiales con fórmulas explícitas y demás.

Más concretamente: un bello ejemplo de cálculo explícito utilizando la medida de Haar en $SO(3)$ es este artículo sobre las estimaciones de Strichartz del punto final para la ecuación cúbica de Dirac. El cálculo es bastante elemental, así que no tendrás problemas en leerlo en caso de que te interese. Me parece un ejemplo convincente de lo útil que sería desarrollar algo más de maquinaria para trabajar con medidas de Haar.

Answer 5

Se puede utilizar el siguiente método para integrar (a mano) polinomios en los elementos de la matriz del elemento de grupo sobre los grupos ortogonales especiales, unitarios especiales y simplécticos (con respecto a la medida de Haar).

La descripción se hará para grupos ortogonales especiales, pero este método es válido para los grupos especiales unitarios y simplécticos pasando a los números complejos y a los cuaterniones.

Este método reduce la integración a una serie de integraciones en esferas.

El método se basa en los siguientes hechos:

• Sea $V_{n,k}$ es la multiplicidad de Stiefel de k-frames ortogonales en $R^n$ entonces $SO(n) \cong V_{n,n-1}$ (a torsor)

Esto se debe a que se puede ver una matriz ortogonal (especial) como una colección de n-1 ortonormales vectores columna unitarios $v^{(1)}, . . ., v^{(n-1)}$ .

el método es válido para integrandos que son polinomios en el elemento de grupo que siempre se puede escribir en la forma $tr(c^t v^{(i)} + v^{(i)^t} c)$ .

Denotemos los proyectores ortogonales unidimensionales sobre $v^{(i)}$ por $\theta^{(i)} = v^{(i)} v^{(i)^t}$

• Existe una serie de fibraciones:

$S^{n-k} \cong V_{n-k+1,1} \rightarrow V_{n,k} \rightarrow V_{n,k-1}$

El método de integración se basa en integraciones secuenciales en las fibras esféricas a partir de

$SO(n) \cong V_{n,n-1}$ y terminando con $S^{n-1} \cong V_{n,1}$ de forma que cada vez que se realice la integración en un de los vectores unitarios.

• Lo más importante es que hay que recordar que los vectores unitarios no son independientes porque son ortonormales. Así, cada integración sobre un vector unitario debe realizarse en la intersección de la esfera definida por él y el hiperplano ortogonal a los demás vectores unitarios. Por ejemplo si empezamos la integración desde $v^{(1)}$ Este importe sustituye $v^{(1)}$ antes de la integración en él por: $(1 - \theta^{(2) }- . . . \theta^{(n-1)}) v^{(1)}$ . Esta sustitución desvincula las restricciones de ortogonalidad.

• La integración de polinomios homogéneos sobre esferas puede realizarse mediante la sustitución de la medida de integración por una medida gaussiana y escalando el resultado (según el cociente de un integrando esféricamente invariante del mismo grado).