¿Los teóricos de conjuntos usan la teoría informal de conjuntos como su meta-teoría cuando hablan de modelos de ZFC?

Question

Aquí, Noé Schweber, escribe lo siguiente:

La mayoría de las matemáticas no es hecho en ZFC. La mayoría de las matemáticas, de hecho, no se hace axiomáticamente en todo: en lugar de, simplemente hacemos uso de las proposiciones que parecen "intuitivamente obvio" sin comentarios. Esto es cierto incluso cuando parece que estamos siendo riguroso: por ejemplo, cuando nos definir formalmente los números reales en un análisis real de la clase (por secuencias de Cauchy, Dedekind cortes, o sin embargo), nosotros (por lo general) no se establece una lista de axiomas de la teoría de conjuntos que estamos usando para ello. La razón es, que los hechos acerca de los conjuntos que necesitamos parecen ser totalmente tame: por ejemplo, que la intersección de dos conjuntos es un conjunto.

Un punto de vista similar se expresa por el Profesor Andrej Bauer en su respuesta a la pregunta acerca de la justificación de la utilización del concepto de conjunto en el modelo de la teoría (aquí está el enlace, realmente puedo recomendar la lectura de esta respuesta). Ver también esta respuesta. Allí escribe:

"La mayoría de los matemáticos aceptar como la ZFC (o al menos ZF) axiomas para los conjuntos." Esto es lo que los matemáticos dicen, pero la mayoría no te dicen lo que ZFC es. Los matemáticos de trabajo en una forma más intuitiva y de manera informal.

Ahora sabemos que en la ordinaria de matemáticas (incluyendo el modelo de la teoría), uno de los usos informales de la teoría de conjuntos. Pero, ¿qué acerca de la teoría de conjuntos de la misma?

Así que ahora me pregunto: Cuando se establece-los teóricos de hablar de modelos de ZFC, son el uso informal de la teoría de conjuntos como la meta-teoría? Es el propósito de ZFC para ser utilizado por los teóricos como un marco en el que se la razón sobre los conjuntos o es el propósito de ZFC para dar a un objeto de la teoría , de modo que podemos ge una definición exacta de lo que es un "conjunto teórico universo" es (es decir, es un modelo de ZFC)?

Answer 1

La cuestión principal es que una muy débil meta-teoría normalmente basta, para teoremas acerca de los modelos de la teoría de conjuntos. De hecho, para casi todos los meta-matemático de los resultados en la teoría de conjuntos con el que estoy familiarizado, utilizando sólo PA o mucho menos en la meta-teoría es más que suficiente.

Considere la posibilidad de un típico forzando el argumento. Aunque conjunto de los teóricos de considerar la posibilidad de ZFC más grandes cardenales, supercompact cardenales y ampliable cardenales y más — muy fuerte objeto de teorías — que necesitan muy poco en la meta-teoría de emprender la relativa consistencia de las pruebas que tienen en mente. Para mostrar, por ejemplo, que la consistencia de ZFC, además de un supercompact cardenal implica la consistencia de ZFC más PFA, no es forzar un argumento involucrados, el Baumgartner forzar. Pero el meta-teoría de la no necesidad de llevar a cabo la obligando a sí mismo, pero sólo para demostrar que obligar a más de un determinado modelo de ZFC, además de un supercompact cardenal funciona como se describe. Y que puede ser probada en una muy débil de la teoría, como la PA o incluso mucho más débil.

Así que en realidad no incluso el uso de la teoría de conjuntos en la meta-teoría, sino sólo algunos débiles aritmética de la teoría. Espero que la prueba de los teóricos es probable que pueda decir mucho más débiles de las teorías que PA que suficiente para que la meta-teoría de la mayoría de conjunto de la teoría de la meta-argumentos matemáticos.

Answer 2

Le preguntó:

Cuando se establece-los teóricos de hablar de modelos de ZFC, son el uso informal de la teoría de conjuntos como la meta-teoría?

La respuesta corta es sí. Un conjunto teórico es de hacer matemáticas y, por tanto, es el razonamiento de manera informal, como en cualquier otro matemático.

Es importante, al menos cuando eres el primero de envolver su mente alrededor de estos conceptos, distinguir entre el razonamiento formal y el informal razonamiento que puede ser formalizada. Formales de razonamiento se compone de pruebas en algún sistema formal. Informal razonamiento incluye todo lo que usted se encuentre en un formato legible matemática de texto. Incluso cuando usted lee en un libro una afirmación de que "trabajamos en ZFC" o "trabajamos en el PA", lo que va a encontrar en el resto del texto es no un montón de formal cadenas, sino más bien legible por humanos del texto escrito en algún lenguaje natural como el inglés. ¿Qué se entiende por demanda de que "el metatheory es PA" es que todas las posteriores meta-teórico de razonamiento puede ser formalizado en el primer orden lenguaje de la aritmética y apelando sólo a los axiomas de la PA.

Por supuesto, la razón principal para informales de este razonamiento es que puramente formales de razonamiento es, salvo en la extremadamente simple de los casos, digerible por los lectores humanos. Además, en muchos casos, no es especialmente importante que todo lo que en el resto del texto, puede ser formalizada en un determinado sistema formal; lo que importa es que el razonamiento es correcto, y que, si fuera necesario, se podría formalizarse en algunas conocido sistema formal. Una de las ventajas de dejar el razonamiento informal, es que la decisión en cuanto a cómo exactamente para formalizar el argumento es diferido hasta que la pregunta que debe ser contestada; si te gusta, es una forma de evaluación diferida.

Ocasionalmente, las personas se incomodan cuando oyen hablar de "correcto razonamiento" sin ninguna especificación de un sistema formal. No estoy seguro exactamente por qué esta incomodidad surge. En cualquier otra área de las matemáticas, la gente no parece tener ningún problema para reconocer matemáticamente correcta (o incorrecta) de razonamiento, cuando lo ve, incluso a pesar de que ningún sistema formal se especifica. Es sólo cuando el asunto es que la teoría de conjuntos o de la lógica de que algunas personas se incomodan. Quizás es porque la teoría de conjuntos y la lógica se considera a los sujetos que se supone que debe proporcionar absoluto rigor de las matemáticas y eliminar la necesidad de razonamiento informal. Es cierto que la comunidad matemática colectiva de la experiencia ha demostrado que cualquier correcta argumento matemático puede ser formalizado en uno de una lista corta de los sistemas formales, pero en última instancia, tenemos que confiar en la capacidad de los matemáticos para distinguir los argumentos correctos de incorrectas, a fin de comprobar que los sistemas formales son las adecuadas bases de las matemáticas y las que no lo son. Además, informal juicio debe ser aplicado para verificar que un determinado formalización representa con exactitud un determinado informal argumento. En este sentido, informal razonamiento no es totalmente eliminable, y uno no debe esperar ser capaces de completamente prescindir de la capacidad de uno mismo para reconocer correcta informal de la matemática, de la argumentación.

Es el propósito de ZFC para ser utilizado por los teóricos como un marco en el que se la razón sobre los conjuntos o es el propósito de ZFC para dar a un objeto de la teoría, para que podamos ge una definición exacta de lo que es un "conjunto teórico universo" es (es decir, es un modelo de ZFC)?

Propósitos diferentes son posibles. Conjunto de los teóricos de mayo, por ejemplo, el estudio de ZFC como un interesante objeto matemático en su propio derecho, sin preocuparse por su papel en los fundamentos de las matemáticas.

Por supuesto, históricamente, ZFC ha jugado un papel importante en la fundación de las matemáticas. Suministró una "existencia" a prueba: existe una formal axiomatization de la teoría de conjuntos tales que todo el razonamiento matemático puede ser formalizada en ella. Esta "existencia" a prueba, a continuación, establecer el escenario para la evolución posterior, tales como la "prueba" de que la consistencia de las matemáticas no puede ser demostrado matemáticamente—un desarrollo que ha sido posible sólo porque ZFC se ha especificado con precisión suficiente que uno podría demostrar teoremas sobre ella. Y como usted sugiere, ZFC es un candidato si desea formalizar su meta-teórico de razonamiento (aunque, como otros han señalado, típicamente es una enorme exageración para hacerlo).

Así que la respuesta a tu pregunta es que sí, ZFC puede servir a los propósitos que mencionas, aunque me gustaría destacar que aquellos que no son sólo razones por las que el conjunto de los teóricos parece interesante.

Answer 3

Estoy escribiendo esto, no sólo como una respuesta a su pregunta, pero también a algunas de las preguntas que se han vinculado en su pregunta. No parece ser un montón de preguntas sobre MO que, básicamente, hacer la misma cosa: "el Modelo de la teoría es el uso de conceptos de la teoría de conjuntos, la teoría de conjuntos es el uso de los conceptos de modelo de la teoría. Es la teoría de conjuntos, que se reivindica a ser el fundamento de las matemáticas, basada en el razonamiento circular?"

La respuesta corta es no. Creo matemáticos que no son lógicos, y que confunden a sí mismos con preguntas tales simplemente quieres ver cómo las herramientas de la teoría de conjuntos y el modelo de la teoría son "construidas jerárquicamente". No estoy afirmando que todos los lógicos percibir la lógica de la forma en que estoy a punto de describir, pero aquí es un enfoque:

Tengo una intuitiva comprensión de los objetos de la lógica de primer orden, es decir, los cuantificadores, las variables, las conectivas etc. Yo también tengo una intuitiva la comprensión del concepto de un conjunto. Puedo empezar a hacer una lista abajo algunos axiomas, es decir, los axiomas de ZFC. Aquí estoy usando negrita las letras a denotar que estos axiomas son cadenas de símbolos en la vida real. (Este va a ser mi metatheory.)

Como puedo tener una comprensión intuitiva de las reglas de la lógica de primer orden, I puede iniciar la manipulación de símbolos y demostrar teoremas. Recuerdo que yo tenía una comprensión intuitiva del concepto de un conjunto y me eligió a mi axiomas para representar la imagen que tengo en mente.

En algún punto, me doy cuenta de que, con los juegos, puedo formalizar la intuitiva nociones que tengo. Por ejemplo, puedo elegir a ciertos conjuntos de representar ciertos símbolos y, a continuación, otros ciertos conjuntos se representan ciertas cadenas y ciertos conjuntos de cadenas. De esta manera, puedo hablar acerca de $ZFC$ que es el conjunto que representan los axiomas de ZFC.

Por ejemplo, podemos definir la (Tarskian) la verdad predicado como se define en muchos modelo de la teoría de los libros. Si usted lee este inductivo definición, que va a ver que, por ejemplo, una frase $\exists x \phi(x)$ que es verdad en de alguna estructura $M$ si existe $m \in M$ tal que $\phi(m)$ es cierto en $M$. Aquí, el objeto de $\exists$ es el conjunto que elegí para representar a mi cuantificadores existenciales mientras que el objeto no existe es el símbolo de la vida real que yo uso para existencial cuantificadores.

Después de un largo y doloroso el procedimiento, me pueden formalizar todas las nociones de modelo de la teoría en ZFC. Entonces puedo aplicar estas herramientas a $ZFC$ a demostrar teoremas de la forma $Con(ZFC) \rightarrow Con(ZFC+CH)$ usando los axiomas de ZFC.

Todo lo que se dice, usted no tiene que elegir a su metatheory a ser ZFC. Como Joel señaló, mucho más débil teorías puede ser suficiente dependiendo de lo que quieres demostrar.

Usted puede ya ser conscientes de todos estos. Tal vez sólo se utiliza la palabra "informal" para decir que los axiomas de ZFC no son objetos formales como conjuntos. La única razón por la que escribí esta respuesta es que el uso de la frase "informal de la teoría de conjuntos como la meta de la teoría de" me recordó a la confusión que he citado al principio y creado la impresión de que hay algo mal con ZFC.

Answer 4

Cuando hablamos acerca de los modelos de una teoría, dicen, $P$ creo $P$ es considerado como objeto a ser estudiado, mientras que ZFC es la teoría utilizamos para el estudio de $P$, pero no el metatheory. Aquí metatheory debe significar que lo que damos por sentado en el fin de entender y hacer el razonamiento en ZFC (es decir, la teoría sintáctica ZFC teoría debe descansar sobre), que la mayoría estaría de acuerdo en la Aritmética de Peano de la teoría, o incluso Primitiva Recursiva Aritmética es suficiente. Probablemente, cuando hablamos de modelos de ZFC, es decir, cuando se $P$ pasa a ser ZFC, entonces debemos pensar que ZFC sirve tanto como objeto de estudio y la teoría utilizada para el estudio de las cosas, mientras que todavía está en la Aritmética de Peano, que sirve como metatheory.