Ejemplos de conjeturas que se creyeron ampliamente como verdaderas pero que luego se demostraron falsas

Question

Me parece que casi todos Las conjeturas (hipótesis) que los matemáticos creían ampliamente que eran verdaderas se demostraron más tarde, si es que alguna vez se demostraron. ¿Hay alguna excepción notable?

Answer 1

En 1908 Steinitz y Tietze formularon la Supuesto principal ("conjetura principal"), según la cual, dadas dos triangulaciones de un complejo simplicial, existe una triangulación que es un refinamiento común de ambas.

Esto era importante porque implicaba que los grupos de homología de un complejo podían definirse intrínsecamente, independientemente de las triangulaciones que se utilizaban para calcularlos.

La homología es efectivamente intrínseca, pero esto fue demostrado en 1915 por Alexander, sin utilizar la Hauptvermutung, por métodos simpliciales.

Finalmente, 53 años después, en 1961 John Milnor (un tipo de topología, aparentemente) demostró que la Hauptvermutung es falso para complejos simpliciales de dimensión $\geq 6$ .

Answer 2

La conjetura de Luzin se creía ampliamente que era falsa, hasta que fue demostrada por Carleson en 1966.

Cito la biografía de Lennart Carleson: "En 1913 Luzin conjeturó que si una función $f$ es integrable al cuadrado, entonces la serie de Fourier de $f$ converge puntualmente a $f$ Lebesgue en casi todas partes. Kolmogorov demostró en 1928 resultados que parecían sugerir que la conjetura de Luzin debía ser falsa, pero Carleson sorprendió al mundo de las matemáticas cuando demostró la vieja conjetura de Luzin en 1966. Explicó cómo se vio obligado a demostrar el teorema

... el problema, por supuesto, se presenta ya cuando se es estudiante y yo pensaba en el problema de vez en cuando, pero la situación era más interesante que eso. La gran autoridad en aquellos días era Zygmund y estaba completamente convencido de que lo que uno debía producir no era una prueba sino un contraejemplo. Cuando era un joven estudiante en los Estados Unidos, conocí a Zygmund y tuve una idea de cómo producir algunas funciones muy complicadas para un contraejemplo y Zygmund me animó mucho a hacerlo. Estuve pensando en ello durante unos 15 años de forma intermitente, en cómo hacer que estos contraejemplos funcionaran y lo interesante que ocurrió fue que me di cuenta de por qué debía haber un contraejemplo y cómo debía producirse. Pensé que había entendido realmente cuál era el fondo y entonces, para mi asombro, pude demostrar que este contraejemplo "correcto" no podía existir y de repente me di cuenta de que lo que había que intentar hacer era lo contrario, había que intentar demostrar lo que no estaba de moda, es decir, demostrar la convergencia. El aspecto más importante en la resolución de un problema matemático es la convicción de cuál es el verdadero resultado. Entonces tardé 2 o 3 años en utilizar las técnicas que se habían desarrollado durante los últimos 20 años aproximadamente "

Answer 3

Esto puede considerarse más una metaconjetura que una conjetura: El programa de Hilbert, http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_programa . La conjetura sería: que la teoría de conjuntos (o algún conjunto de axiomas adecuados para hacer matemáticas) puede demostrarse consistente. El Teorema de Incompletitud de Gödel refutó esta conjetura.

No tengo una referencia, pero tengo la impresión de que, en su momento, el programa de Hilbert parecía alcanzable, y el resultado de Gödel fue una sorpresa.

Answer 4

Euler's conjetura de la suma de potencias si una suma de $k$ a las potencias es un $k$ potencia, entonces la suma tiene al menos $k$ términos.

Propuesto por Euler en 1769. Contraejemplo para $k=5$ encontrado en 1966, para $k=4$ en 1986.

Answer 5

La refutación de Littlewood de la conjetura (quizás de Gauss) de que $\text{li}(x) > \pi(x)$ .

Creo que esto ya se creía mucho antes.