Langlands en dimensión 2: la conjetura de Yoshida

Question

Antecedentes: Una parte destacada del programa de Langlands es la conjetura de que todos los motivos son automórficos. Es interesante considerar casos especiales que son más precisos, aunque menos de la conjetura. La idea es formular conjeturas de modularidad generalizadas que sean tan concretas como la conjetura Shimura-Taniyama-Weil (ahora el teorema de la modularidad elíptica). Este último ganó mucho en precisión, por ejemplo, por la observación experimental de Weil del vínculo entre el conductor de la curva elíptica y el nivel de la forma modular de peso dos. forma modular. Como siguiente paso en la escala de dimensiones, es natural considerar superficies abelianas sobre ${\mathbb Q}$ , en cuyo caso se encuentra

La conjetura de Yoshida: Cualquier superficie abeliana irreducible $A$ definido sobre ${\mathbb Q}$ y con Fin $(A)={\mathbb Z}$ es modular en el sentido de que a cada una se le asocia una eigenforma modular holomórfica de Siegel eigenforma de cúspide $F$ de género 2, peso 2, y algún nivel $N$ , tal que su función L del espinor $L_{\rm spin}(F,s)$ coincide con la del superficie abeliana $$ L(H^1(A),s) ~=~ L_{\rm spin}(F,s). $$

Preguntas:

1. ¿Se ha demostrado la conjetura de Yoshida para algunas clases de superficies abelianas sobre ${\mathbb Q}$ ?

2. ¿Existen listas de superficies abelianas y formas modulares de Siegel asociadas que amplíen las muy útiles listas construidas por Cremona y Stein para las curvas elípticas y sus formas modulares asociadas?

Answer 1

Y resulta que hoy mismo he estado entre el público de una charla de un seminario sobre este mismo tema. La opinión que expresé en los comentarios no está, por lo visto, muy lejos de la realidad: V.Pilloni y B.Stroh tienen ahora algunas variantes del criterio de clasicidad de Coleman para $\textrm{GSp}_{4}$ y así la modularidad completa para algunas superficies abelianas es ahora accesible. Así que la respuesta a tu pregunta 1 parece ser que sí, pero hay que basarse en resultados de vanguardia para obtener realmente este tipo de resultados.

Consulte los trabajos conjuntos de V.Pilloni y B.Stroh.

Answer 2

No es necesario exigir la irreductibilidad. Si $A=E_1 \times E_2$ es un producto de curvas elípticas la conjetura es cierta, por la modularidad de las curvas elípticas combinada con la elevación de Yoshida de pares de formas de cúspide clásicas a formas modulares de Siegel de género dos. Si $K$ es un campo cuadrático real y $E/K$ es una curva elíptica modular, entonces la conjetura de Yoshida es cierta para la superficie $A=\mathrm{Res}_{K/\mathbb{Q}}(E)$ . Esto se deduce de un teorema de Johnson-Leung y Roberts; véase arxiv 1006.5105. Presumiblemente, cualquier individuo $A$ se puede hacer "a mano" usando Faltings-Serre más una seria inteligencia computacional.

Lo siento si ya sabes todas estas cosas :)