¿Cuándo el producto de dos ideales es igual a su intersección?

Question

Considere un anillo $A$ y un esquema afín $X=SpecA$ . Dados dos ideales $I$ y $J$ y sus subesquemas asociados $V(I)$ y $V(J)$ sabemos que la intersección $I\cap J$ corresponde a la unión $V(I\cap J)=V(I)\cup V(J)$ . Pero un producto $I.J$ da un nuevo subesquema $V(I.J)$ que tiene el mismo soporte que la unión pero puede ser mayor en un sentido infinitesimal. Por ejemplo, si $I=J$ se obtiene un esquema $V(I^2)$ que es igual a "doble" $V(I)$ .

Pregunta vaga: ¿Cuál es la interpretación geométrica de $V(I.J)$ ¿en general?

Pregunta precisa: ¿Cuándo es $I\cap J=I.J$ ? Todo el mundo conoce el caso $I+J=A$ pero esto no es en absoluto necesario. Por ejemplo, si $A$ es UFD y $f,g$ son relativamente primos entonces $(f).(g)=(f)\cap(g) $ pero en general $(f)+(g)\neq A$ (por ejemplo $f=X, g=Y \in k[X, Y]$ )

Muchas gracias.

Answer 1

Respuesta a la pregunta precisa: Cuando $\mathrm{Tor}^1(A/I, A/J)=0$ .

Prueba: Tenemos la secuencia exacta $$0 \to I \to A \to A/I \to 0$$ Tensores con $A/J$ obtenemos $$0 \to \mathrm{Tor}^1(A/I, A/J) \to I/(I \cdot J) \to A/J \to A/(I+J) \to 0.$$ El término de la izquierda es $0$ porque $A$ es plana como un $A$ -módulo.

Ahora, ¿cuál es el núcleo de $I \mapsto A/J$ ? Claramente, es $I \cap J$ . Así que el núcleo de $I/(I \cdot J) \to A/J$ es $(I \cap J)/(I \cdot J)$ . Vemos que $I \cap J = I \cdot J$ si y sólo si $\mathrm{Tor}^1(A/I, A/J)=0$ .

Answer 2

Para añadir a la respuesta de David Speyer, ya que esta historia continúa con una historia bastante interesante e ilustre:

Cuando $A$ es regular, el functor Tor satisface la siguiente propiedad:

(1) $\text{Tor}_1^A(M,N) = 0$ implica $\text{Tor}_i^A(M,N) = 0$ para $i>0$ para dos módulos generados finitamente cualesquiera.

(este es un teorema de Auslander en el caso geométrico y no ramificado y de Lichtenbaum en el caso ramificado. (1) se denomina rigidez de Tor).

Resulta que cuando $A$ es regular y local (por lo que se puede hablar de profundidad), (1) implica

(2) $\text{depth} (M) + \text{depth}(N) = \dim A + \text{depth} {M\otimes_AN}$

Esta asombrosa fórmula es exactamente igual a la propiedad de "intersección adecuada" en la teoría de la intersección, salvo que se utiliza la profundidad en lugar de la dimensión. Obsérvese que si $M=A/I, N=A/J$ entonces $M\otimes N = A/(I+J)$ que representa la intersección de $V(I)$ y $V(J)$ así que esto es muy geométrico.

(3) Hablando de la teoría de la intersección, por Fórmula de Serre para la multiplicidad de la intersección como todos los Tors desaparecen, se puede calcular la multiplicidad de intersección de $V(I), V(J)$ contando la longitud en los componentes mínimos (es decir, la forma ingenua). Así que tendrás una generalización del teorema de Bezout.

Por último, si $V(I)$ y $V(J)$ sólo se cruzan en puntos cerrados aislados, (2) implica (1) localmente en el soporte de la intersección, por lo que

(4) Si $V(I) \cap V(J)= \{m_1, \cdots, m_n \}$ entonces $I\cap J = IJ$ si y sólo si $A/I, A/J$ son localmente Cohen-Macaulay en los puntos $m_i$ s.

Puedes encontrar la última afirmación en el libro de Álgebra Local de Serre, V.6, Teorema 4, p 110 de la versión inglesa.

PD: Además, David no mencionó su propia e interesante contribución, aquí .

Answer 3

Pido disculpas de antemano por resucitar una pregunta tan antigua, pero no he podido resistir el impulso de compartir una caracterización precisa para $I \cap J=IJ$ que leí hace poco en un hermoso y corto artículo, cuando $I,J$ son ideales monomiales en un anillo polinómico.

En primer lugar, algo de terminología: Sea $k$ sea un campo y $R=k[x_1,...,x_n]$ . Todo ideal monomial $I$ de $R$ tiene un único conjunto mínimo monomial de generadores, normalmente denotado por $G(I)$ . Para un conjunto de monomios $T$ en $R$ , dejemos que $Supp (T) :=\{i | x_i $ divide $m$ para algunos $m \in T \}$ .

Con esto, podemos afirmar la caracterización: Sea $I,J$ sean ideales monomiales en $k[x_1,...,x_n]$ entonces $I \cap J=IJ$ si y sólo si $Supp (G(I)) \cap Supp (G(J))$ está vacía.

Este es el Teorema 2.2 en https://link.springer.com/article/10.1007/s12044-019-0509-5

Aquí está el enlace arxiv https://arxiv.org/abs/1705.00488

Answer 4

Una respuesta vaga a una pregunta vaga:

Cuando se quiere la unión de $V(I)$ y $V(J)$ para que se comporte bien ante las deformaciones y para que "cuente con multiplicidad", entonces puede preferir utilizar el ideal $IJ$ en lugar de $I\cap J$ . Permítanme dar un ejemplo:

Toma $V=V(x)$ , $W=V(x-t)$ y $T=V(t)$ denotan $V_0:=V\cap T=V(x,t)=W\cap T=:W_0$ . Si se utiliza la intersección de ideales para la unión de variedades se obtiene:

$(V\cup W)\cap T=V(x^2)$ y

$(V_0\cup W_0)\cap T=V(x)$ .

Al usar el producto obtendrá:

$(V\cup W)\cap T=V(x^2)=(V_0\cup W_0)\cap T$ .