¿Cada anillo conmutativo noetheriano es un cociente de un dominio noetheriano?

Question

Esta fue una interesante pregunta que a mí por un amigo que está muy interesado en álgebra conmutativa. También tiene algunas geométrica de la motivación.

La pregunta tiene dos partes. La primera, como se indica en el título, la pregunta de si cada Noetherian conmutativa anillo cociente de un Noetherian de Dominio? Geométricamente, esta pregunta indaga si cada Noetherian afín esquema puede ser incorporado como un cerrado subscheme de un esquema integral.

La segunda parte de la pregunta es que si la primera parte está contestada en forma afirmativa, entonces es todo (regular) Noetherian anillo cociente de regular Noetherian de dominio? Geométricamente, este le pregunta si cada afín Noetherian esquema puede ser incorporado como un cerrado subscheme de un buen esquema integral.

Hemos logrado algunos avances en cuanto a la primera parte de la pregunta. Nos miramos finito productos de Noetherian dominios y demostró que si la Noetherian dominios a y B contienen un común Noetherian sub-anillo C tales que a y B son esencialmente finito de tipo C, $A \times B$ es un cociente de un Noetherian de dominio. Pero no hemos sido capaces de quitar la esencia finita condición y el ejemplo más sencillo que no hemos podido trabajar se $\mathbb{Q} \times \mathbb{C}$.

Answer 1

No por razones de cardinalidad.

Deje $F$ un campo finito y $G$ un campo con cardinalidad estrictamente mayor que el continuum. A continuación, $F\times G$ no es la imagen homomórfica de un noetherian integral de dominio por el lema 2.1 en http://spot.colorado.edu/~kearnes/Papers/residue_final.pdf

Lema 2.1. Deje $R$ ser un Noetherian integral dominio que no es un campo finito y deje $I$ será un verdadero ideal de la $R$. Si $|R| = \rho$ e $|R/I| = \kappa$,, a continuación,$ \kappa + \aleph_0 \leq \rho \leq \kappa^{\aleph_0}$.

[nota: yo no soy un experto y no lo han comprobado.]

[Editar Joël: para mayor comodidad, puedo añadir la prueba de $\rho \leq \kappa^{\aleph_0}$ tomada desde el citado artículo. Desde $I$ es finitely generado, $I^n/I^{n+1}$ es finita $R/I$-módulo, por lo tanto tiene cardinalidad en la mayoría de las $\kappa$ (resp. es finito si $\kappa$ es finito). Desde $R/I^{n+1}$ es una sucesiva ampliación de $I^k/I^{k+1}$ para $k=0,1,\dots,n$, la cardinalidad de $R/I^{n+1}$ es también en la mayoría de las $\kappa$ (resp. finito si $\kappa$ es finito). Por Krull del lexema, $\cap_n I^n = 0$, lo $R$ inyecta en $\prod_n R/I^n$ que tiene cardinalidad en la mayoría de las $\kappa^{\aleph_0}$, QED.]

Answer 2

Yo sigo a la de Olivier sugerencia y a su vez mi comentario sobre cómo darse cuenta de $\mathbb Q\times \mathbb C$ en una respuesta.

Fix $r>0$ y considerar el anillo de $\mathbb Q_{r^+}[\![t]\!]$ de potencia de la serie con coeficientes en $\mathbb Q$ que convergen en un barrio de el disco está cerrado, $D(0,r)$ de centro 0 y radio de $r$ en $\mathbb C$. Es noetherian (ver Harbarter, Convergente Aritmética de Alimentación de la Serie). De hecho, es incluso un PID.

Ahora considere una evaluación mapa de $f \mapsto f(z)$ con $z \in D(0,r)$. Su imagen es $\mathbb Q$ si $z=0$, $\mathbb R$ si $z$ es real y $\mathbb C$ lo contrario. Para que podamos obtener el $\mathbb Q \times \mathbb C$ como un cociente.

Usando el mismo tipo de truco y sustitución de $\mathbb Q$ por $\mathbb Z$ o localizaciones de $\mathbb Z$, uno debe ser capaz de construir un noetherian dominio cuyo cociente es un determinado producto finito finito de campos finitos extensiones de $\mathbb Q_p$ o $\mathbb Q$, $\mathbb R$ o $\mathbb C$.

Por supuesto, el método tiene sus límites y no tengo idea de cómo se dan cuenta de $\mathbb Q \times \bar{\mathbb Q}$, por ejemplo.