"Las conjeturas antiguas en el análisis ... a menudo resultan ser falsas"

Question

El título es una cita de un Jim Holt artículo titulado, "La zeta de Riemann conjetura y la risa de los números primos" (pág. 47).¹ Su ejemplo de una "larga conjetura" es la hipótesis de Riemann, y es de advertir que "aquellos que alegremente asumir la verdad de la Conjetura de Riemann."

Q. ¿Cuáles son ejemplos de una larga conjeturas en el análisis que resultó ser falso?

Es de Holt adverbio "a menudo" justificado?

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¹

Jim Holt. Cuando Einstein Caminó con Gödel: Excursiones al Borde de Pensamiento. Farrar, Straus y Giroux, 2018. p. 36-50. (NYTimes Revisión.)

Answer 1

Yo no sé acerca de análisis en general, pero creo que definitivamente es justo decir que "a menudo" en el análisis funcional. Mi sensación es que tenemos un sólido, completo, elegante cuerpo de teoría que por lo general conduce a soluciones positivas con bastante rapidez, cuando existen. (El Kadison-Cantante problema es una excepción reciente que requiere radicalmente nuevas herramientas para una solución positiva.) Los problemas que quedan por mucho tiempo tienden a no lo hacen porque hay una complicada solución positiva, sino porque hay un complicado contraejemplo. Eso es un bruto sobregeneralización pero creo que hay algo de verdad.

Los primeros ejemplos que puedo pensar son:

• cada Banach separable espacio de la aproximación de la propiedad y tiene una base de Schauder (contraejemplo por Enflo)

• cada delimitada operador lineal sobre un espacio de Banach tiene un trivial cerrado subespacio invariante (contraejemplos por Enflo y Leer)

• cada infinitas dimensiones espacio de Banach tiene un infinito dimensional subespacio en el que se admite incondicional de la base de Schauder (contraejemplo por Gowers y Maurey)

• cada infinitas dimensiones espacio de Banach $X$ es isomorfo a $X \oplus \mathbb{R}$; si $X$ e $Y$ son espacios de Banach, cada linealmente homeomórficos a un subespacio de los otros, entonces ellos son linealmente homeomórficos (contraejemplo por Gowers)

No me puedo resistir también mencionar algunos ejemplos en los que estaba involucrado con.

• Dixmier del problema: cada primer C*-álgebra es primitivo (contraejemplo por mí)

• Naimark del problema: si una C*-álgebra tiene sólo una representación irreducible hasta unitaria de equivalencia, entonces es isomorfo a $K(H)$ para un espacio de Hilbert $H$ (contraejemplo por Akemann y a mí)

• cada estado puro en $B(l^2)$ es puro en un poco de masa (contraejemplo por Akemann y a mí)

• cada automorphism de la Calkin álgebra es la interior (contraejemplo por Phillips y a mí)

Los tres últimos requieren de un conjunto adicional de la teoría de los axiomas, por lo que la afirmación correcta es que si ordinarios de la teoría de conjuntos es consistente, entonces es lógico que estos contraejemplos existen. Presumiblemente, todos los tres son independientes de la habitual de los axiomas de la teoría de conjuntos, pero esto es sólo conocida de la última, donde la consistencia de una solución positiva fue demostrado por Farah.

Answer 2

Si RH es "análisis", entonces seguramente Littlewood del teorema de 1914 que $\pi(x)$ (la primer función de conteo) y $\mathrm{li}(x)$ (logarítmico integral) se alternan en tamaño infinitamente a menudo... a pesar de toda la evidencia numérica en el tiempo, lo que indica que $\pi(x)\le \mathrm{li}(x)$.

Parte de la cuestión es que la primera inversión se produce sólo en un número bastante grande. S. Skewes, un estudiante de Littlewood, dio un efectivo atado en 1933 suponiendo RH, y uno mejor en 1955 incondicionalmente, ... ambos de los cuales eran ridículamente grandes números. (Sólo tienes que buscar en "Skewes " número" para ver los detalles...)

Del mismo modo, algunas de las regularidades en el comportamiento de $\zeta(s)$ hacer sólo "patada" al $\log\log(\Im(s))$ es grande... que nunca podremos evaluar numéricamente. No sé si este es el análisis, pero es bastante genuino matemáticas de algún tipo, y quizás de ilustrar la posibilidad de que los fenómenos ocurren fuera de la gama de directa (con o sin computadoras, cuántica o no) observación (por los seres humanos). En particular, incluso sofisticada simulación numérica no puede llegar a un gran $\log\log T$, por lo que las conclusiones que podemos extraer (por ejemplo, A. Odlyzko y otros cálculo de los ceros de zeta hasta el hombre-de grandes alturas) podría ser ... sin sentido?

(En una manera diferente, las cuestiones planteadas por Nik Weaver son algo similares, en que surgen desde palpable problemas, pero cuyas abstracciones inadvertidamente implican fenomenológico entidades sorprendentemente más allá de nuestro fácil de capacidad.)

Answer 3

La hipótesis de Riemann es una conjetura, en tanto el análisis y la teoría de números. Alguien que intenta socavar necesariamente tiene que pasar por alto la última parte o a declarar es irrelevante. No estoy sugiriendo que es cierto (no lo sé), sólo que es más plausible cuando se toma en cuenta que su violación implica una especie de conspiración entre los números primos y que hay de la función de campo de los análogos de los cuales son en realidad probada.

Una vez que nos fijamos en la conjetura desde este punto de vista podría decirse que es único, y no hay ejemplos de análisis de hacer un gran punto.

Answer 4

En otro orden de cosas, tomando la cuestión en serio, etc.:

Vamos a considerar el teorema del valor intermedio: un (continua?) la función toma todos los valores intermedios, etc. Obviamente cierto, cuando creemos que las funciones son las cosas cuyas gráficas podemos (fácilmente) dibuje. Pero, falsa, con la introducción de la no-funciones continuas. Pero, entonces, de nuevo, es aceptar cuando añadimos que calificador.

Del mismo modo, el valor medio teorema: si $u'=0$,, a continuación, $u$ es constante. Obviamente cierto. Así, los problemas en decir lo que la derivada de una no-tan-agradable función es... distribuciones/funciones generales... Pero, al final, si la distribución se ha derivado de la(s) cero, es (integrar-en contra) una constante.

¡Uf!

Del mismo modo, podemos ir a través de la dialéctica acerca de las integrales...

Quizás aún más importante, la principios del siglo 20 la escuela polaca de la teoría de conjuntos y real análisis se centró en muchas situaciones en las que un hipotético sencillez de la descripción de los subconjuntos de $\mathbb R$ necesita realmente la hipótesis continua... o más. Estoy suficientemente experto para hablar de esas cosas, pero soy consciente de ellos.

Answer 5

Con$\mu(k)$ es la función de Möbius, la conjetura de Mertens establece que la función de Mertens

PS

estará limitada hacia abajo por encima de como$$M(n)=\sum_{1\le k\le n} \mu(k)$ $

La conjetura duró 100 años, desde 1885 hasta 1985, cuando comenzó a desmoronarse con el trabajo de Andrew Odlyzko y Herman te Riele.