Tiene esta estructura algebraica sido nombrado o estudió?

Question

Disculpas si este no es muy bien definido o expone mi ignorancia; me sabe relativamente poco acerca de álgebra abstracta.

La estructura de ciertos lenguajes de programación pueden ser descritos con la estructura algebraica $(S,\cdot,\verb|^|)$ donde

• $\cdot:S\times S\rightarrow S$ es asociativa y unital, y

• $\verb|^| : S \rightarrow S$

es decir, un monoid con un extra de unario operación. Por desgracia, nada se puede decir mucho acerca de $\verb|^|$ salvo que:

• $\verb|^|$ distribuye más de $\cdot$, es decir, $\verb|^|(a\cdot b) = \verb|^|a\cdot \verb|^|b$.

• $\verb|^|$ es cancellative: $\verb|^|a = \verb|^|$b implica $a = b$.

En particular, $\verb|^|$ no es una operación inversa, ni idempotente; en general, $\verb|^|(\verb|^|a) \neq a$, y, en particular, $\verb|^|1\neq1$.

Mi pregunta es:

Tiene esta estructura se ha estudiado, o al menos ha dado un nombre, en álgebra abstracta?

Yo no soy optimista, ya que la adición de $\verb|^|$ no parece hacer la estructura mucho más interesante que un monoid. Pero si alguien puede, incluso me apunte hacia estructuras similares, yo estaría agradecido. (Aunque claramente los grupos no son un buen ajuste debido a la falta de invertibility.)

(Editado para incluir la cancellative propiedad de $\verb|^|$ y una mención explícita a su falta de idempotencia.)

Answer 1

No sé si esto se puede cumplir requisito:

Deje $(S,+,\centerdot)$ ser un semiring, y tratar a su $\centerdot$$+$, el tratamiento de su ^a en $a\centerdot c$ fijos $c$.

Aunque tiene más propiedades de su estructura, es el mejor que se me ocurre.

Answer 2

Dado que no es necesariamente cierto que $\verb|^|1\neq 1$, ni siquiera podemos decir que $\verb|^|$ es un endomorfismo de la monoid (sólo un endomorfismo de la semigroup.)

La cancelación de la regla para $\verb|^|$ hace esto difícil de estudiar en la categoría de teoría. Sin la cancelación de la regla, esto sería una especie de "álgebra universal." Con la cancelación de la regla, tenemos un problema más difícil. (No hablamos de la categoría de integral dominios, pero en realidad sólo la categoría de anillos en general. El mismo es verdad.)

Por cierto, no es en absoluto evidente que la "cita" operador de Alegría distribuye como usted dice. Parece que la descripción de la "cita" en que el artículo no hace $[ab]=[a][b]$. Depende de lo que significa, supongo, para "empujar a la pila", pero como yo digo, $[a][b]$ empuja dos cosas a la pila, mientras que $[ab]$ empuja sólo uno.

Answer 3

A mí me parece que la estructura es un par de monoid (aunque no es un unital) y un monomorphism $(S,\verb|^|)$. Una de morfismos $S\overset{\alpha}{\longrightarrow} S^\prime$ debe haber (no unital) monoid de morfismos $\alpha$ de manera tal que el diagrama conmuta: $\require{AMScd}$ \begin{CD} S @>\alpha>> S^\prime\\ @V \verb|^| V V{\#} @VV \verb|^| V\\ S @>>\alpha> S^\prime \end{CD}

Pero yo no sé nada acerca de esa estructura, no su nombre ni su historia.