Cómo probar que $\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\cdots}}}}}}} = \frac{2+\sqrt 5 +\sqrt{15-6\sqrt 5}}{2}$

Question

Ramanujan declaró este radical en su cuaderno perdido:

$$\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\cdots}}}}}}} = \frac{2+\sqrt 5 +\sqrt{15-6\sqrt 5}}{2}$$

No tengo ninguna idea acerca de cómo probar esto.

Cualquier ayuda es apreciada.

Gracias.

Answer 1

Como se ha señalado por Cocopuffs (y Alan), la correcta período tiene una longitud de 4, es decir,+,+, -,+. De manera más general, el uso de cualquiera de los $2^4=16$ eventuales períodos,

$$x = \sqrt{a\pm \sqrt{a\pm \sqrt{a\pm \sqrt{a\pm\dots}}}}$$

será el valor absoluto de una raíz de la 16 ° eqn,

$$x = (((x^2 - a)^2)^2 - a)^2 - \etiqueta{1}$$

Ramanujan (Cuadernos IV, pág.42-43) dijo que (1) fue un producto de 4 polinomios de cuarto grado, uno de los cuales es el reducible,

$$(x^2-x-a)(x^2+x+1)=0\etiqueta{2}$$

y los otros tres habían coeficientes en el cúbicos,

$$y^3+3y = 4(1+ay)\etiqueta{3}$$

El uso de Mathematica para el factor de (1), nos encontramos con que es de hecho un producto de (2) y un 12 grados eqn con coeficientes en un. Después de la manipulación, el 12 de raíces,

$$x_n = -\frac{y-z}{4}\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(y-2)(y+z)z}{2y}}\etiqueta{4}$$

donde,

$a$z =\pm\sqrt{y^2+4}\etiqueta{5}$$

Dado que hay 4 cambios de signo y (3) da 3 opciones para $y$, esto produce el 12 de raíces.

Nota: Para $a=5$ (así como $a=2$), el cúbicos factores más de $\mathbb{Q}$, por tanto, no se cúbicos irracionalidades están involucrados, y uno de los $x_n$ dará el valor de la correspondiente infinito anidada radical.

P. S. Curiosamente, para la duración del período $n> 4$, no todas las raíces de los grados de $2^n$ la ecuación se puede expresar como finito de expresiones radicales. (Para $n=5$, el $32$grados de los factores en una ecuación cuadrática y $30$-deg. El último puede ser descompuesto similar a lo que Ramanujan hizo, pero me he encontrado con que ahora involucra a un sextic que, para general $$, no era solucionable.) La excepción es $a=2$, donde la solución implica raíces de la unidad. Ver este post relacionados.

Answer 2

Si @Cocopops es correcta, en la que el +,- signos como +,+,-,+,+,+,-,+,+,+, ... y el aperiodicity es sólo al principio, esto es mucho menos impresionante.

Entonces si

$$x= \sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\dots}}}}}}} $$ entonces $$ y = \sqrt{5+x} = \sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\dots}}}}}}}}, $$ así, el patrón de $y$ es +,+,+,-,+,+,+,-,+,+,+, ... y podemos decir $$ (((y^2-5)^2-5)^2-5)^2-5 = -y. $$ Numéricamente debemos ser capaces de encontrar una raíz. Sin embargo, encontrar la expresión analítica todavía parece difícil.

Me gustaría sugerir que nos planteamos esto como una doble pregunta, ¿y si los signos siga +,+,-,+,+,+,-,+,+,+,+,-, ...

¿La expresión tiene una forma cerrada? En general, ¿qué acerca de los radicales de la forma $$ \sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a- \ldots}}}}}}}}}? $$