Está la perspectiva tradicional de la teoría de la obstrucción. Orientabilidad significa que el haz tangente se trivializa sobre un 1-esqueleto. También se puede pensar que el complemento de una co-dimensión $2$ tiene un haz tangente trivial.
Así que admitir una estructura de espín es lo mismo, pero será el haz tangente trivializa sobre un 2-esqueleto, dually el complemento de un subcomplejo co-dimensión tres admite un haz tangente trivial.
Una superficie es orientable si y sólo si no contiene bandas de Moebius -- una vecindad regular de cualquier curva cerrada simple debe ser un cilindro. En dimensiones superiores, esto se traduce en que una variedad es orientable si y sólo si no contiene haces retorcidos. $D^{n-1} \rtimes S^1$ es decir, las vecindades regulares de curvas cerradas simples son difeomorfas a $D^{n-1} \times S^1$ .
Para las estructuras de giro hay algo muy parecido. Por supuesto, una superficie admite una estructura de espín si y sólo si es orientable. Es una noción más interesante en dimensiones superiores. En este caso, la afirmación es que la variedad es orientable, y si se toma una vecindad regular de cualquier superficie de la variedad, entonces tiene un haz tangente trivial. Así que variedades como $\mathbb RP^3$ son variedades de espín perfectamente válidas -- $\mathbb RP^3$ contiene $\mathbb RP^2$ pero el espacio total de su haz normal tiene un haz tangente perfectamente trivializable. Técnicamente, la condición es un poco más fuerte que eso -- se puede trivializar el haz tangente del complemento de una co-dimensión $3$ subconjunto. Así pues, no sólo se pueden trivializar los espacios totales de haces normales de superficies, sino incluso las vecindades regulares de uniones de superficies.
Así que si quieres una variedad que no tenga espín, el arquetipo sería un haz vectorial sobre una superficie de modo que el espacio total no tenga un haz tangente trivializable. Tomemos el $D^2$ -bundle over $S^2$ con clase Euler $\chi$ . Creo que esto ocurre si y sólo si $\chi$ es par. Supongo que tienes ejemplos más entretenidos cuando se trata de la vecindad regular de un 2-complejo que no es en sí mismo un múltiple.
edit: "Spin structures on manifolds" de Milnor en L'Enseignement Mathematique Vol 9 (1963) es una excelente referencia para la mayoría de los puntos anteriores. No creo que entre en todas las descripciones anteriores ya que creo que quiere mantener el artículo simple. La interpretación de la dualidad de Poincare es un modo de pensar muy habitual que se emplea en gran parte de la topología de baja dimensión. El libro de Kirby sobre los 4-manifolds es un buen lugar para buscar este material. En concreto, R. Kirby "The topology of 4-manifolds" Springer-Verlag (1989). Una referencia más moderna sería Gompf y Stipsicz, pero de nuevo no creo que utilicen todas las descripciones anteriores. En "Characteristic Classes" de Milnor y Stasheff se describen la mayoría de las construcciones básicas anteriores, en la sección de teoría de la obstrucción. Dentro de un par de meses publicaré en arXiv un artículo en el que expondré algunas formas muy combinatorias de describir el espín y las estructuras de espín^c en variedades (sobre todo para su implementación informática). Espero que también sea una buena referencia. Pero el artículo sigue siendo ilegible.
