La clase de Thom y el teorema de isomorfismo de Thom para paquetes de vectores orientados se prueban (al menos que yo sepa) por inducción en las cubiertas abiertas y alguna manipulación con secuencias de Mayer-Vietoris.
¿Cuál es la "razón real" detrás de la existencia de la clase Thom? Parece extraño que exista una clase tan interesante solo porque algunas secuencias de Mayer-Vietoris la producen rutinariamente.
Es fácil entender la existencia de una Thom clase considerando celular cohomology. Deje que el vector dado bundle ser $E\to B$ con fibras de dimensión $n$. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $B$ es un CW complejo con un solo 0-célula. La Thom espacio de $T(E)$ es el cociente $D(E)/S(E)$ de la unidad de disco paquete de $E$ por la unidad de la esfera paquete. Uno puede dar $T(E)$ un CW estructura con $S(E)/S(E)$ como la única 0-móvil y con un $(n+k)$-celda para cada una de las $k$-celda de $B$. Estas células en $T(E)$ surgen de tirar el paquete de $D(E)\to B$ a través de la característica de los mapas de $D^k\to B$ de la $k$-células de $B$. Estos pullback son productos desde $D^k$ es contráctiles.
En particular, $T(E)$ tiene un solo $n$-célula y un $(n+1)$-celda para cada 1-celda de $B$. No hay células en $T(E)$ entre la dimensión $0$ e $n$. El celular de límite de una $(n+1)$-cell es 0 si $E$ es orientable sobre el correspondiente 1-celda de $B$, y es el doble de la $n$-célula en el caso contrario. Por lo tanto $H^n(T(E);{\mathbb Z})$ es $\mathbb Z$ si $E$ es orientable y $0$ si $E$ es no orientable. En el orientable caso de un generador de $H^n(T(E);{\mathbb Z})$ restringe a un generador de $H^n(S^n;{\mathbb Z})$ en la "fibra" $S^n$ de % de $T(E)$ sobre el 0-celda de $B$, de ahí que el mismo es cierto para todas las "fibras" $S^n$, por lo que uno tiene una Thom clase.
Uno no muy técnico manera de pensar de la Thom Teorema de Isomorfismo es que si usted tiene un vector paquete, $p : E \to B$, si se quita la $0$sección $Z$ del vector paquete de la Thom espacio de $Th(p)$, se obtiene un contráctiles espacio. Así que, dado que una homología de clase en $H_* Th(p)$ la obstrucción a la vulgarización de ello puede ser considerado como su intersección con la $Z$. Si no hay intersección, usted está en el contráctiles espacio de $Th(p) \setminus Z$. De modo que la intersección de una homología de clase con $Z$ es tautologically la cosa que sigue la pista de la homología de la misma clase.
Eso es lo que me gusta pensar que la Thom Teorema de Isomorfismo. Así que ¿por qué hay una Thom clase? Debido a que usted puede intersectar con $Z$. En cohomology esta es la cata con la Thom clase ya que eso es lo intersecciones traducir en cohomology.
Usted está pensando en términos de ordinario cohomology, donde Mayer-Vietoris parches juntos el siempre presente orientación local para producir un mundial cuando la tienes. Es más avanzado, pero tal vez la más reveladora, tenga en cuenta que la definición en general es intrínsecamente global. Una $n$-plano bundle $p$ durante un espacio de $B$ tiene asociada una esfera bundle $Sph(p)$ (por fiberwise un punto compactification) con base de fibras y por lo tanto una sección. El cociente $Sph/B$ es la Thom espacio de $T$ de % de$p$. Para un multiplicativo cohomology teoría de la $E$, una Thom clase $\mu$ es un elemento de $\tilde{E}^n(T)$ cuya restricción a $\tilde{E}^n(S^n_b)\cong \tilde{E}^0(S^0)$ es una unidad en este anillo para cualquier $b\in B$ donde $S^n_b$ es la fibra a $b$ en $Sph(p)$. Esta definición es admitttedly misterioso. Basta dar una Thom isomorfismo y es importante geométricamente, pero la verdadera explicación es más avanzada y todavía no muy bien conocidos. Uno debería pensar que de $E^*$ representado por un anillo espectro de $E$. Paquete de teoría, naturalmente, las preocupaciones de los espacios de más de $B$, o parametrización de los espacios. Uno puede hacer sentido de la parametrización de los espectros de más de $B$, y uno puede incluso tomar el smash producto de una parametrización espacio y un abanico de posibilidades para obtener una parametrización del espectro. Por lo tanto uno puede hacer sentido de $Sph(p)\wedge E$ como un espectro de más de $B$. Por supuesto, también hay un trivial esférica bundle $B\times S^n$ sobre $B$. Resulta que una Thom clase como me definió cohomologically es la misma cosa como una trivialización: una equivalencia de parametrizar los espectros entre $Sph(p)\wedge E$ e $(B\times S^n)\wedge E$. Ese es el sentido geométrico. Esto es demostrado en el libro Parametrizadas Homotopy Teoría, por Sigurdsson y yo (disponible en mi sitio web).
La idea detrás de la Thom isomorfismo $\beta:H^iX \rightarrow H^{n+i}(DE,SE)$ está implícito en la fórmula $$\int_{\sigma_{n+i}} \beta(\alpha_i) = \int_{X\cap \sigma_{n+i}} \alpha_i$$ Aquí $\sigma_{n+i}$ es un singular simplex en $DE$ y hemos escrito integración para la evaluación de un cochain en una suma de simplices. También se $X\subset DE$ se identifica con el cero de la sección.
El problema con esta fórmula es que no tiene sentido en todos los casos: después de todo $X\cap\sigma_{n+i}$ no va a estar, en general, un simplex de nuevo. E incluso si lo es, podría ser un simplex de muchas maneras diferentes (diferentes parametrizaciones), por lo que algunas decisiones que deben tomarse. Estos problemas se pueden superar y este es el "milagro" de la Thom isomorfismo.
Tenga en cuenta que el lado derecho también se requiere una "orientación" de $X\cap\sigma_{n+i}$. Esta es la razón por la que también requieren de una orientación en $E$.
Para la Thom clase $\tau = \beta(1)$ sí esto le da a la caracterización $$\langle \tau, \sigma_n\rangle = \sharp ( X \cap \sigma_n )$$ donde los puntos de intersección son contadas con las señales adecuadas. (En $DE$ un genérico $n$-simplex tiene un cero-dimensional de la intersección con la sección cero.)
Puede que le sea útil para aprender algo acerca de Thom clases en otros (generalizada) cohomology teorías: de de Rham cohomology y K-teoría, hay bastante explícito representantes de los respectivos Thom clases. Y nada mejor que la elegancia de Thom clases en cobordism teorías, donde tenemos un "tautológica" Thom clase.
Incluso en el caso de una orientada al vector paquete de más de un punto, que es donde comienza la historia, es trivial. En este caso la Thom isomorfismo es la dualidad de Poincaré para la cohomology con compacto apoya en una orientada espacio vectorial. En última instancia, la Thom teorema de isomorfismo es una forma especial de la de Poincaré-Verdier la dualidad. El hecho de que el de Mayer-Vietoris técnica es utilizada en la prueba de ello es una indicación de que la Thom isomorfismo ofertas con el cohomologies de algunas de las poleas.
Si la base del vector paquete es compacto y orientado, a continuación, la Thom isomorfismo es equivalente a la de Poincaré-Lefschetz la dualidad de una orientada al manifold con frontera a saber, la unidad de disco paquete determinado por el vector paquete.
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