¿Qué es un primo infinito en topología algebraica?

Question

Los vínculos entre la topología algebraica (la teoría de la homotopía estable en particular) y la teoría de los números son hoy en día abundantes y fructíferos. En una dirección está la teoría de homotopía cromática, que explota la teoría de grupos formales, campos locales y espacios de módulo. En otra hay todo un tema de geometría algebraica derivada, así como objetos más esotéricos como la homología quiral y sus aplicaciones. Tal vez sea un deseo, pero me gustaría ver estos dos campos como diferentes facetas de una teoría más profunda.

En particular, desde los días de antaño AT emplea una teoría de localizaciones y terminaciones en ideales de $\mathbb Z$ . Esto ya hace que parezca que realmente estamos haciendo geometría algebraica sobre $\mathrm{Spec}\ \mathbb Z$ . Esta sensación se ve apoyada por el teorema de Nishida, que nos dice que el espectro de la esfera se puede considerar realmente como un engrosamiento nilpotente muy bonito de $\mathbb Z$ . Con un poco de magia blanca podemos incluso aplicar la teoría de campos de clases locales al estudio de los grupos de homotopía. Sin embargo, hay un problema evidente: en la teoría de los números deberíamos trabajar no sobre $\mathbb Z$ pero sobre alguna compactación de la misma, y debería incluir información en infinitos primos. Sorprendentemente, nunca he visto que se mencionen los primos infinitos en la teoría de la homotopía.

Una suposición obvia es que debemos estudiar las localizaciones con respecto a $H\mathbb R$ en lugar de $H\mathbb Q$ o $H\mathbb{F}_p$ falla por la sencilla razón de que la cohomología racional es "igual" a la real y a la compleja. Al intentar buscar en Google algo como "primos infinitos en topología algebraica" o "localización de primos infinitos de Bousfield", no obtuve ningún resultado relevante. Mis conocimientos sobre los primos infinitos en la teoría de los números son muy limitados, pero por lo que tengo entendido las construcciones giran principalmente en torno a las terminaciones con respecto a las normas arquimédicas en extensiones de $\mathbb Q$ y estudiando haces vectoriales reales con métrica (bueno, es casi lo mismo). No veo la forma de llevar ninguno de estos enfoques a la homotopía (cohomología métrica? wut?).

Por lo tanto, la pregunta, tal y como está planteada: ¿existe alguna teoría que explote algunas construcciones (especialmente alguna forma de localización) con respecto a infinitos primos en campos de números para obtener resultados homotópicos? Alguna variante de la geometría topológica de Arakelov se acercaría al resultado ideal, pero no espero que exista, así que agradecería cualquier hilo conductor. En términos más generales, ¿qué podría ¿toman el papel de esos infinitos primos y aportan la información homotópica que falta (¿en qué sentido?)?

Por supuesto, uno podría notar que quizás una pregunta más básica es cómo las extensiones de Galois de $\mathbb Q$ puede generalizarse a los espectros (porque de otra manera no hay muchos primos infinitos potenciales alrededor), pero no me parece que deba ser realmente un obstáculo. En todo caso debería ser objeto de otra pregunta.

Answer 1

El Bousfield-Kan $p$ -completar un conjunto simplicial $X_\bullet$ es la totalización (= límite homotópico) del espacio cosimplicial obtenido al iterar por niveles el functor $S\mapsto \mathbb F_p[S]$ (que envía un conjunto $S$ a la libre $\mathbb F_p$ -espacio vectorial en ese conjunto).

Se me ocurrió en algún momento (con el pensamiento explícito de que podría ser algo así como la terminación de Bousfield-Kan en el lugar infinito) hacer la misma construcción con el functor $S\mapsto B_1(\ell^1(S))$ en lugar de $\mathbb F_p[-]$ . Esto tiene sentido porque $B_1(\ell^1(-))$ también es una mónada.

Aquí, $B_1(\ell^1(S))$ es la bola unitaria del espacio de Banach $\ell^1(S)$ (sobre los reales). Una posible variante es utilizar sólo la parte positiva de $B_1(\ell^1(S))$ .

Nunca perseguí esa idea. Tilman Bauer y yo lo discutimos en algún momento, y tuvimos la vaga idea de que esto podría estar relacionado con el concepto de $\ell^1$ -homología. [Nótese que $\ell^1$ -La homología sólo ve $\pi_1$ y es completamente insensible a los grupos de homotopía superiores (y además, desaparece idénticamente cuando $\pi_1$ es ameanable ), por lo que pertenece más al ámbito de la teoría geométrica de grupos y menos al de la topología algebraica].

Answer 2

El único resultado en topología algebraica que conozco que implica explícitamente tanto a los primos finitos como a los infinitos es El ascensor de Dustin Clausen de la reciprocidad de Hilbert a una afirmación sobre los espectros. Para cada primo $p$ introduce un $p$ -de la versión J-homorfismo y demuestra una fórmula de producto sobre todos los J-homorfismos, incluyendo el habitual sobre $\mathbb{R}$ que se reduce a la reciprocidad de Hilbert tras aplicar $\pi_2$ .