Es allí una manera de resolver por un desconocido en un factorial?

Question

No quiero hacer esto a través de ensayo y error, y la mejor manera que he encontrado hasta ahora era empezar dividiendo a partir del 1 de.

$n! = \text {a really big number}$

Ex. $n! = 9999999$

Hay una manera de aproximar n o resolver para n a través de una fórmula de algún tipo?

Actualización (Aquí está mi intento):

Stirling Aproximación: $$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left( \dfrac{n}{e} \right ) ^ n$$

Así que tomando el log:

$(2\cdot \pi\cdot n)^{1/2} \cdot n^n \cdot e^{-n}$
$(2\cdot \pi)^{1/2} \cdot n^{1/2} \cdot n^n \cdot e^{-n}$
$.5\log (2\pi) + .5\log n + n\log n \cdot -n \log e$
$.5\log (2\pi) + \log n(.5+n) - n$

Ahora a resolver para n:

$.5\log (2\pi) + \log n(.5+n) - n = r$
$\log n(.5+n) - n = r - .5 \log (2\pi)$

Ahora estoy un poco atrapados aquí.

Answer 1

Una buena aproximación para $n!$ es el de Stirling: $n!$ es de aproximadamente $n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}$. Así que si $n!=r$ donde $r$ es sinónimo de "gran número", entonces, toma de registros, consigue $\left(n+\frac12\right)\log n-n+\frac12\log(2\pi)$ es de aproximadamente $\log r$. Ahora, usted puede usar el método de Newton para resolver $\left(n+\frac12\right)\log n-n+\frac12\log(2\pi)=\log r$$n$.

Answer 2

$\exp(1+W(\log(n!)/e))-\frac{1}{2}\searrow n$ $n\to\infty$donde $W$ es la función W de Lambert. Para un entero $n\ge2$, el piso es exacta.

Sólo tomé la expansión fuera un poco más y la aproximación me dio por encima de sobrestima $n$$\log\left(\sqrt{2\pi}\right)/\log(n)$.