Además de lo que ya se ha dicho, me gustaría añadir algunos comentarios más. Entiendo completamente su sospecha de que el paso de los operadores sin límites a los limitados es, al menos, complicado. Para las relaciones de conmutación canónicas de los operadores de posición y momento, esto puede ser resuelto de una manera razonable y también físicamente aceptable, pasando al álgebra de Weyl (OK; hay millones de álgebras de Weyl en las matemáticas, pero me refiero aquí a la $C^*$ -algebra generada por los exponenciales de $Q$ y $P$ está sujeto a las relaciones de conmutación heurística que surgen de $[Q, P] = \mathrm {i} \hbar $ ).
Sin embargo, hay otras situaciones en la física en las que esto es mucho más complicado: cuando uno trata de cuantificar un sistema mecánico clásico que tiene un espacio de fase más complicado que sólo $ \mathbb {R}^{2n}$ entonces no se puede esperar conseguir unas relaciones de conmutación fáciles que permitan un álgebra de Weyl como la construcción. Para ser más específico, para el simbólico general de los colectores de Poisson el esquema de cuantificación de la bestia que uno puede obtener en esta generalidad es probablemente la cuantificación formal de la deformación. Aquí el álgebra clásica observable (un álgebra de Poisson) es deformado en un álgebra no conmutativa en un $ \hbar $ -de tal manera que el nuevo producto, el llamado producto estrella, depende de $ \hbar $ de tal manera que para $ \hbar = 0$ se recupera la multiplicación clásica y en primer orden de $ \hbar $ uno obtiene el soporte de Poisson en el conmutador.
Ahora surgen dos dificultades: la más grave es que en esta generalidad sólo se puede esperar series de poder formal en $ \hbar $ . Así que uno incluso ha cambiado el anillo subyacente de los escalares de $ \mathbb {C}$ a $ \mathbb {C}[[ \hbar ]]$ . Así que, por supuesto, no hay noción de una $C^ \ast $ -algebra en absoluto en este anillo. Sin embargo, hay una buena noción de los estados en el sentido de funcionalidades positivas ya en esta etapa. En segundo lugar, incluso si se logra encontrar una subálgebra convergente, normalmente no se termina con una $C^ \ast $ -...álgebra en la nariz. Peor aún: en la mayoría de los exámenes explícitos se sabe (y no hay realmente muchos...) que las relaciones de conmutación que se obtienen son muy complicadas. En particular, no está claro en absoluto cómo se puede afiliar una $C^ \ast $ - álgebra para ellos. Además, no está claro cuál de los estados anteriores sobrevive a esta condición de convergencia y da representaciones razonables por la construcción del SNG.
Se requiere bastante esfuerzo para representar primero los observables por operadores típicamente muy ilimitados de una manera razonable y luego mostrar que dan lugar a algunos operadores auto-adhesivos que aún omiten las relaciones de conmutación pertinentes. Esto está lejos de ser obvio. Para tener una idea de las dificultades es bastante ilustrativo echar un vistazo al libro de Klimyk y Schmüdgen sobre grupos cuánticos y sus representaciones. Nótese que en estos ejemplos uno todavía tiene mucha estructura alrededor de la cual ayuda a entender el análisis.
Sin embargo, la física suele requerir situaciones mucho más generales. Lo más importante aquí son los sistemas con grados de libertad calibrados donde uno tiene que pasar a un espacio de fase reducido. Incluso si uno comienza con un espacio de fase geométricamente bueno, el reducido puede ser terriblemente complicado. Este problema está presente en cualquier QFT contemporáneo realmente relevante para la física.
Para otros esquemas de cuantificación las cosas son similares, aunque no soy el experto para decir algo más sustancial :)
Así que uno puede preguntarse por qué debería insistir en $C^ \ast $ -algebras y este fuerte fondo analítico. Existe en efecto una razón física y es que la física cuántica predice no sólo los valores de expectativa de los observables en determinados estados (aquí la noción de un ${}^ \ast $ -algebra y un funcional positivo es suficiente-) pero también los posibles resultados de una medición: están dados por números particulares llamados el espectro físico de lo observable. Para obtener una buena descripción con poder de predicción, la única manera (hasta donde yo sé) de lograrlo es decir que el espectro físico está dado por el espectro matemático de un operador auto-ajustado en un espacio de Hilbert. Si uno está aquí en este punto, entonces el paso de un operador auto-acoplado (sin límites) a un $C^ \ast $ -el álgebra es comparativamente fácil: uno tiene las proyecciones espectrales y toma por ejemplo el álgebra de von Neumann generada por ellas...
Así que el punto que me gustaría hacer es que es muy deseable desde un punto de vista físico tener el fuerte marco analítico para los observables como operadores auto-ajustados o elementos Hermitianos en un $C^ \ast $ -algebra. Pero la teoría cuántica de muchos sistemas no triviales requiere un largo y no trivial camino antes de que uno termine en esta bonita situación celestial.
