Quintetos Rachinsky

Question

Este 1895 pintura de Nikolai Bogdanov-Belsky muestra el cálculo mental en la escuela pública de Sergei Rachinsky. A los niños en una aldea rusa de la escuela de intentar calcular $(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365$ en sus cabezas. Uno de los métodos de solución se basa en la igualdad de $10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$. Ahora esta Rachinsky la igualdad puede ser considerado como una generalización de la conocida triple de Pitágoras (3,4,5), $3^2+4^2=5^2$, y en analogía con las ternas Pitagóricas se puede definir Rachinsky quintetos como un conjunto de cinco enteros positivos $(a,b,c,d,e)$ tal que $a^2+b^2+c^2=d^2+e^2$. Es sabido que todas las ternas Pitagóricas primitivas $(a,b,c)$ tal que $a^2+b^2=c^2$ son generados por Euclides de la fórmula $a=m^2-n^2$, $b=2mn$, $c=m^2+n^2$, donde $m$ e $n$ son enteros positivos tales que $m>n$, $m$ y $n$ son coprime, y $m \not\equiv n \bmod 2$. Se puede establecer un resultado análogo para Rachinsky quintetos?

Answer 1

La ecuación$a^2+b^2+c^2=d^2+e^2$ define un cuadrático$Q\subset\mathbb{P}^4$, con un punto racional$p=(1,0,0,0,1)$. Por lo tanto, es racional: proyectar desde$p$, digamos en el hiperplano$e=0$, define un mapa biracional$Q --> \mathbb{P}^3$. El inverso de ese mapa, a saber,$$ (x,y,z,t)\mapsto (x-\lambda ,y,z,t,\lambda )\quad \mbox{with }\lambda :=(x^2+y^2+z^2-t^2)/2x$ $ proporciona una parametrización de todos los puntos racionales en$Q$ con$x\neq 0$; para obtener puntos integrales, simplemente multiplique todas las coordenadas por$2x$. Para obtener los puntos restantes, reemplace$p$ por$p'=(0,1,0,0,1)$, etc.

Answer 2

La siguiente receta (algoritmo) genera todas las soluciones. Puede ser visto como una parametrización en general(izada) sentido.

W. l.o.g. podemos suponer que la $c$ es impar. Entonces

$$ \left(\frac{x-y}2\right)^2 + \left(\frac{u, v}2\right)^2 + c^2 \ =\ \left(\frac{x+y}2\right)^2 + \left(\frac{u+v}2\right)^2 $$

donde tres condiciones:

1. $\ x\equiv y\equiv 1\ \mbox{mod}\ 2$
2. $\ u\equiv v\equiv 0\ \mbox{mod}\ 2$
3. $\ u\cdot v = c^2-x\cdot y$

es decir, podemos tomar arbitraria $x$ e $y$ como en la condición 1, y entonces uno se descompone $c^2-x\cdot y$ (ver condición 3), donde $\ u\ v\ $ son como en la condición 2; de curso $\ 4\,|\,c^2-x\cdot y\ $ (y las expresiones en virtud de las plazas son enteros).