Hice esta pregunta sobre stackexchange, pero a pesar de mucho esfuerzo de mi parte, no he tenido éxito en encontrar una solución.
¿La desigualdad$$2(|a|+|b|+|c|) \leq |a+b+c|+|a+b-c|+|a+c-b|+|b+c-a|$ $ se cumple para todos los números complejos$a,b,c$? Para valores reales, un análisis de caso verificará la desigualdad. Lo que se desea es una prueba usando la desigualdad del triángulo o un contraejemplo. Gracias por adelantado.
En general, una vez que lo has probado una desigualdad como este en ${\bf R}$ mantiene automáticamente en cualquier espacio Euclidiano (incluyendo ${\bf C}$) por un promedio de más proyecciones. ("La desigualdad como este" = desigualdad donde cada término es la longitud de algunos de combinación lineal de variable de vectores en el espacio; aquí los vectores se $a,b,c$.) En el caso de los números complejos tenemos $$ |z| = \frac14 \int_0^{2\pi} \bigl| {\rm Re} e^{i\theta} z) \bigr| \, d\theta. $$ Aplicando esto a $z=a$, $b$, $c$, y $a \pm b \pm c$ reduce el deseado de la desigualdad para el caso unidimensional. En $d$-dimensional el espacio que iba a escribir $C\|z\|$ como promedio de $|u \cdot z|$ sobre $u$ en el la unidad de la esfera (para un adecuado constante $C>0$).
Aprendí este truco en MOP + De 30 años, y no sabe o no recuerda quien lo descubrió. Yo ni siquiera sabía que la desigualdad de la que nos habían asignado fue debido a Hlawka (si no recuerdo mal que era la desigualdad $$ \|x+y\| + \|y+z\|+\|z+x\| \le \|x\|+\|s\| + \|z\| + \|x+y+z\| $$ citado por Suvrit). Nos mostraron el promedio de solución de después de trabajar para demostrar que las manos desnudas. La referencia Suvritde la cites no usar el método de promedio, así que no sé si es demasiado es debido a Hlawka o a otro matemático.
Parece que su desigualdad es sólo una encarnación de Hlawka la desigualdad que dice que para cualquier vectores $x, y, z$ en un producto interior espacio de $V$ hemos
\begin{equation*} \|x+y\| + \|y+z\|+\|z+x\| \le \|x\|+\|y\| + \|z\| + \|x+y+z\|. \end{ecuación*}
El uso de $x=a+b-c$, $y=a+c-b$, y $z=b+c-a$ obtenemos la desigualdad en la OP.
Observaciones adicionales:
Para añadir un poco más de contexto, por favor consulte el documento enlazado aquí, que ofrece un buen resumen de la labor relacionada con Hlawka de la desigualdad, que al parecer se remonta a 1942 papel de Hornich (citado también por Zurab a continuación). El papel vinculado anteriormente explora el interesante generalización: \begin{equation*} f(x+y) + f(y+z) + f(z+x) \le f(x+y+z) + f(x)+f(y)+f(z), \end{ecuación*} donde $x,y,z$ puede provenir de un grupo Abelian, o un espacio lineal, o la línea real---cada uno con su propio conjunto de condiciones en la asignación de $f$. La forma funcional de Hlawka la desigualdad se acredita a una de 1978 papel de Witsenhausen.
De hecho, el Hlawka la desigualdad apareció por primera vez (como un caso especial de los más resultado general) en H. Hornich, Eine Ungleichung für Vektorlängen, Mathematische Zeitschrift 48 (1942), 268-274 http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN266833020_0048&DMDID=DMDLOG_0025&LOGID=LOG_0025&PHYSID=PHYS_0256 (ver pág. 268. P. S. como Joni Teräväinen ha comentado, Hornich créditos en la página 274 a Hlawka una prueba algebraica de este caso especial y se reproduce).
Hlawka original de la prueba, además del libro indicado por Suvrit, se puede encontrar en "Clásica y Nuevas Desigualdades en el Análisis" por D. S. Mitrinovic, J. Pecaric y A. M Fink, p. 521 y en la "Analítica de las Desigualdades" por D. S. Mitrinovic, p.171. Ambos libros proporcionar Adamovic y Djorkovic generalizaciones de la Hlawka la desigualdad. Curiosamente, todas estas generalizaciones son casos especiales de la más general resultado dado en http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X96904588 (Generalizaciones de Dobrushin Desigualdades y las Aplicaciones, por M. Radulescu y S. Radulescu).
Otra prueba de Hlawka la desigualdad se puede encontrar en http://www.sbc.org.pl/Content/34160/1995_13.pdf (En dos geométrica de las desigualdades, por A. Simón, P. Volkmann), y todavía uno de otro en el http://www.jstor.org/discover/10.2307/2310890?uid=3738936&uid=2&uid=4&sid=21104051771107 (La Poligonal de las Desigualdades, por D. M. Sonriente y M. F. Smiley).
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