Los grupos lineales generales isomorfos implican campos isomorfos?

Question

Supongamos $n > 1$ es un número natural. Supongamos $K$ e $L$ son campos que el lineal general de los grupos de grado $n$ sobre ellos son isomorfos, es decir, $GL(n,K) \cong GL(n,L)$ como grupos. Es necesariamente cierto que $K \cong L$?

Yo también estoy interesado en la pregunta correspondiente para el especial lineal de grupo en el lugar de la general lineal de grupo.

NOTA 1: La afirmación es falsa para $n = 1$, debido a $GL(1,K) \cong K^\ast$ y no isomorfos campos puede tener isomorfo multiplicativo de los grupos. Por ejemplo, todos los contables de los subcampos de $\mathbb{R}$ que está cerrado bajo la operación de la toma racional de los poderes de los elementos positivos que han isomorfo multiplicativo de los grupos.

NOTA 2: Es posible usar los ejemplos de la NOTA 1 a construir no isomorfos campos cuyo aditivo grupos son isomorfos y cuya multiplicativo grupos son isomorfos.

Answer 1

La respuesta es "sí", véase más abajo.

Dieudonné en su libro "La géométrie des groupes classiques" considera el resumen del grupo de $SL_n(K)$ para un campo $K$, no necesariamente conmutativo, y escribe $PSL_n(K)$ para $SL_n(K)$ modulo el centro. En Ch. IV, Sección 9, se considera la cuestión de si $PSL_n(K)$ puede ser isomorfo a $PSL_m(K')$ para $n\ge 2,\ m\ge 2$. Él escribe que pueden ser isomorfo sólo para $n=m$, a excepción de $PSL_2(\mathbb{F}_7)$ e $PSL_3(\mathbb{F}_2)$. Si $n=m>2$, entonces el isomorfismo es posible sólo si $K$ e $K'$ son isomorfos o anti-isomorfos. Lo mismo es cierto para $m=n=2$ si ambos $K$ e $K'$ son conmutativas, excepto para el caso de $K=\mathbb{F}_4$, $K'=\mathbb{F}_5$. Dieudonné da ideas de la prueba y las referencias a Schreier y van der Waerden (1928), a su papel "En el automorfismos de los clásicos grupos" en el Mem. AMS Nº 2 (1951) y el papel de Hua L. K. y Wan en J. Chino de Matemáticas. Soc. 2 (1953), 1-32.

Esto responde afirmativamente a la pregunta de $SL_n$, porque si $SL_n(K)\cong SL_n(K')$,, a continuación,$PSL_n(K)\cong PSL_n(K')$. En el caso $n=2$, $K=\mathbb{F}_4$, $K'=\mathbb{F}_5$, las órdenes de $|SL_2(\mathbb{F}_4)|=60$ e $|SL_2(\mathbb{F}_5)|=120$ son diferentes, y por lo tanto, estos grupos no son isomorfos.

Esto también responde afirmativamente a la pregunta de $GL_n$, debido a $SL_n(K)$ es el colector de un subgrupo de $GL_n(K)$, a excepción de $GL_2(\mathbb{F_2})$, ver Dieudonné, Ch. II, Sección 1. En el caso $n=2$, $K=\mathbb{F}_2$, tenemos $|GL_2(\mathbb{F}_2)|=6$ , que es menos de $|GL_2(\mathbb{F}_q)|=q(q-1)(q^2-1)$ cualquier $q=p^r>2$, por lo tanto $GL_2(\mathbb{F}_2)\not\cong GL_2(\mathbb{F}_q)$ para $q>2$.

Answer 2

La respuesta a la pregunta es sí, aunque no tengo todos los de la vieja literatura al alcance de mi mano. Este tipo de preguntas para las diferentes clases de grupos lineares tiene una larga historia en el estudio de homomorphisms y isomorphisms de los clásicos grupos y, a continuación, otros algebraica de los grupos (van der Waerden, Dieudonné, ...) El más completo tratamiento que se le dio por Borel y las Tetas en sus Ann. de Matemáticas 97 (1973) de papel, pero haciendo hincapié en los tipos simples en lugar de general reductora grupos. De todos modos, por lineal general de los grupos de las ideas se producen mucho antes y también involucrar a la singularidad de $n$. (Como usted señala, el caso de $n=1$ tiene un sabor diferente.) Voy a comprobar las fuentes, pero también se puede trabajar a partir de las referencias de Borel-Tetas.

P. S. tenga en cuenta que cualquier isomorfismo (resumen de grupos) entre dos lineal general grupos induce un isomorfismo de grupos derivados. Dado $n>1$, estos son especiales lineal de grupos y encajan bien en la anterior o posterior fuentes que he mencionado. (Probablemente no es suficiente detalle en 1928, el Hamburgo de papel por Schreier y van der Waerden para resolver su pregunta, pero confieso que nunca he ido de nuevo que el momento en la literatura.)

AÑADIDO: Una relativamente moderna de referencia que debo señalar es Lectures on Lineal de los Grupos por la sala de operaciones O'Meara, CBM 22, Amer. De matemáticas. Soc., 1974. Mientras que O'Meara del propio interés de la investigación en el momento en que estaba en la dirección de los lineales de los grupos más diversos anillos de interés, estas notas de la conferencia también incorporar mayor trabajo sobre los campos. Véase, en particular, sus Secciones 5.5-5.6 para los teoremas más relevantes para la pregunta que se hace aquí.

A grandes rasgos, la preocupación central de estos teoremas de isomorfismo es lo que sucede a unipotentes elementos (clásicamente, transvections y similares). En el marco de la clásica matriz de grupos, el original de técnicas se basan en la geometría subyacente de la situación. Pero en el amplio tratamiento por Borel-las Tetas de la teoría de la estructura de la reductora grupos (Jordania descomposición, Bruhat descomposición, etc.) juega el papel más destacado. Generales o especiales lineal de los grupos, es difícil para mí juzgar qué enfoque realmente es "más sencillo".