¿Existe alguna filosofía o intuición profunda detrás de la similitud entre$\pi/4$ y$e^{-\gamma}$?

Question

He aquí un par de ejemplos de la similitud de la Wikipedia, en la que las expresiones difieren sólo en los signos. Me he encontrado con otras analogías así.

$${\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\ln xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\ln {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\ln xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\ln {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}$$

Me pregunto si hay alguna algebraicas sistema donde $4e^{-\gamma}$ jugaría un papel similar a lo $\pi$ juega, por ejemplo, en los números complejos, o un sistema geométrico donde $4e^{-\gamma}$ podría jugar algún papel especial, como $\pi$ en Euclidiana y geometrías de Riemann.

Answer 1

La intuición puede ser ayudado por considerar la generalización de la función constante de Euler $$\gamma(z)=\sum_{n=1}^\infty z^{n-1}\left(\frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n}\right),\;\;|z|\leq 1.$$ Sus valores son la constante de Euler $\gamma=\gamma(1)$ y la "alternancia constante de Euler" $\ln 4/\pi=\gamma(-1)$. Por lo general integral o de fórmula de recursión relación de $\gamma(z)$ establecerá una conexión del tipo señalado en el OP.

Las propiedades de la función $\gamma(z)$ han sido estudiados en La generalizada-de Euler-función constante y una generalización de Somos del cuadrática recurrencia constante (2007). Somos la constante de $\sigma=\sqrt{1\sqrt{2\sqrt{3\cdots}}}$ se obtiene como $\gamma(1/2)=2\ln(2/\sigma)$.

Otro valor especial $$\gamma(i)=\frac{\pi}{4}-\ln\frac{\Gamma(1/4)^2}{\pi\sqrt{2\pi}}+i\ln\frac{8\sqrt\pi}{\Gamma(1/4)^2}.$$