Biyección del plano hacia sí mismo que envía círculos a cuadrados

Question

Permítanme disculparme de antemano, ya que esta es posiblemente una pregunta extremadamente estúpida: ¿se puede probar o refutar la existencia de una biyección del plano hacia sí mismo, de modo que la imagen de cualquier círculo se convierta en un cuadrado? O, más generalmente, ¿hay alguna otra forma que no sea un cuadrado, de modo que exista una biyección? (obviamente, un mapa lineal envía un círculo a una elipse de dimensiones y orientación fijas)

Answer 1

No hay tal bijection.

Para ver esto, imagínate cuatro círculos de toda la tangente a una cierta línea en algún punto de $p$, pero todos de diferentes radios, de modo que dos de ellos se cruzan en el punto $p$. (E. g., cualquiera de los cuatro círculos a partir de esta imagen.) En virtud de su hipotético bijection, estos cuatro círculos que se asignan cuatro plazas, dos de los cuales tienen exactamente un punto en común, el mismo punto de que dos de ellos. Usted puede fácilmente convencerse de que ninguna colección de cuatro plazas tiene esta propiedad.

Answer 2

El problema es que dos cuadrados distintos pueden tener más de dos puntos comunes (es fácil hacer un ejemplo), y bajo tal biyección estos cuadrados tendrían que ir a dos círculos distintos con más de dos puntos comunes, lo que es imposible.