Hay una forma de entender a estos grupos geométricamente, como el complejo de los grupos de reflexión, que son grupos generados por rotaciones alrededor de los complejos hyperplanes. Creo (pero sin llegar a buscar el documento, citado por el Gjergji Zaimi) que esto es lo que Coxeter estaba haciendo.
Vamos a empezar con el tetraedro. Deje $A$ ser de rotación de 120 grados alrededor de un vértice, y $B$ ser de rotación de 120 grados alrededor de la otra. $A$ e $B$ ambos actúan como incluso las permutaciones de los vértices, por lo $AB$ también actúa como una permutación de vértices; es un 3-ciclo, por lo que
satisfacen la relación $(AB)^3 = 1$. Como señaló mt en los comentarios, esto no es $\mathbb T^3$, pero sólo el cociente por su centro. El grupo $SO(2)$ de la orientación de la preservación de isometrías de $S^2$ es el cociente del grupo de la unidad de cuaterniones ($S^3$) de su centro, y la preimagen de la tetraédrica grupo es el binario tetraédrica grupo, donde la relación es también satisfecho. Usted puede pensar en esto como mantener un registro de cuántas veces usted ha girado el tetraedro, mod 2. El grupo $S^3$ es lo mismo que $SU(2)$. El 2 ascensores de un
120 grados de rotación a $S^3$ parecerse a $60$ e $240$ grado rotaciones sobre los grandes círculos. Estos grandes círculos son las intersecciones de líneas complejas con la unidad de la esfera en $\mathbb C^2$, y las operaciones son lo que se llama complejo de reflejos. 120 grados de rotaciones sobre hyperplanes en cualquier dimensión formando el mismo ángulo como estas satisfacer la trenza de la relación.
En general, para darse cuenta de la $\mathbb T^n$ geométricamente, usted necesita $n-1$ complejo hyperplanes $P_i$ correspondiente a sus transformaciones $T_i$, de modo que cuando $|i-j] > 1$ son ortogonales, y de lo contrario hacer el mismo ángulo que el anterior. Para realizar este trabajo, la construcción de un Hermitian formulario ($\leftrightarrow$ métrica compatible con la estructura compleja) para vectores normales a estos planos han especificado los ángulos. Este es un proceso estándar. Esto no será positiva definida en general --- es sólo voy a ser positiva definida cuando el grupo es finito. Pero, todavía tiene una interpretación geométrica. En particular, cuando sólo hay una dirección negativa, puede ser interpretado como un complejo grupo de reflexión que actúan en el complejo espacio hiperbólico.
Es mucho lo que se sabe sobre el complejo de los grupos de reflexión, pero no estoy muy familiarizado con la literatura, así que no voy a tratar de resumir. Sólo voy a mencionar un papel de mina
Formas de poliedros y las triangulaciones de la esfera, en la que
puede encontrar una interpretación de la $\mathbb T^n$ para $n \le 12$ como el sistema modular de los grupos por espacios de poliedros convexos en $R^3$ que han ángulo de defectos en sus vértices que son múltiplos de $\pi/3$. Cuando no hay más de 6 puntos, el poliedro no es compacto. Al $n < 6$, el espacio de moduli es el cociente de complejos espacio proyectivo $\mathbb{CP}^{n-2}$ por su grupo modulo de su centro. (El grupo es un subgrupo de $SU(n-1)$).
En el caso límite $n = 6$, el poliedro se ve como un cilindro infinito en un extremo, y $\mathbb T^6$ actúa como un grupo cristalográfico en $\mathbb{C}^4$ (con su orden 2 centro de actuar trivialmente).
