En $2^X=2^Y\Rightarrow |X|=|Y|$ implican el axioma de la elección?

Question

La hipótesis del continuo generalizado se puede expresar como $2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$ . Sabemos que GCH implica AC (Jech, El axioma de la elección (Teorema 9.1 p.133).

De hecho, una formulación relativamente débil: $|X|\le|Y|< 2^X\implies |X|=|Y|$ ya implicaría el axioma de elección, aunque en este caso la prueba es ligeramente más larga. Nota: en el libro de Herrlich se refiere a GCH se ha dicho anteriormente como "La Hipótesis del Aleph" y la formulación débil se llama GCH].

GCH en sí es independiente del axioma de elección, podemos tener el axioma de elección y los conjuntos de potencias pueden crecer salvajemente, o sólo "un poco". Podemos tener la función de continuidad para ser inyectiva, pero la hipótesis de continuidad puede fallar en una clase adecuada de cardinales (por ejemplo $2^\kappa=\kappa^{++}$ para los cardenales regulares).

Dejemos que ICF (Función Continua Inyectiva) sea la afirmación: $$2^X=2^Y\implies |X|=|Y|.$$

Pregunta: Suponiendo ZF+ICF, ¿podemos deducir AC?

(He buscado en Equivalentes del Axioma de Elección, pero no he encontrado mucho. Sin embargo, es posible que se me haya pasado esto).

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Editado:

1. En un ejercicio de Jech afirma que si existe un cardinal infinito Dedekind-finito, entonces el ICF no se sostiene. De la suposición de que se mantiene podemos deducir que no hay conjuntos infinitos D-finitos.

2. Tenga en cuenta que si $f\colon X\to Y$ es una suryección, entonces $A\subseteq Y\mapsto f^{-1}(A)$ es una inyección de $P(Y)$ en $P(X)$ . Esto significa que ICF implica la Doble Cantor-Schroeder-Bernstein teorema:

   Supongamos que $X$ y $Y$ tienen proyecciones de uno a otro, entonces hay inyecciones entre sus conjuntos de potencia por lo tanto $2^X=2^Y$ y por lo tanto $|X|=|Y|$ .

3. Abreviaremos la variante de Goldstern del ICF como Función continua homomórfica o HCF : $$2^X\leq 2^Y\implies |X|\leq|Y|$$ Una observación importante es que HCF implica El principio de partición (PP), que establece que $A$ se puede mapear en $B$ (o $B$ está vacío) si y sólo si $B$ puede inyectarse en $A$ . Este principio es un principio de elección bastante abierto, y se desconoce si implica o no AC en ZF.

   Para ver que HCF implica PP, observamos lo siguiente: si $f\colon A\to B$ es suryente, entonces el mapa de preimagen es una inyección de $2^B$ en $2^A$ es decir $2^B\leq 2^A$ de HCF se deduce que $B\leq A$ es decir, hay $g\colon B\to A$ inyectiva.

Answer 1

Aquí hay un pequeño progreso hacia la AC.

Teorema. El ICF implica el dual Cantor-Schröder-Bernstein de Cantor-Schröder-Bernstein, es decir $X$ se proyecta sobre $Y$ y $Y$ se proyecta sobre $X$ , entonces son biyectivas.

Prueba. Lo explicas en la edición de la pregunta. Si $X\twoheadrightarrow Y$ entonces $2^Y\leq 2^X$ tomando imágenes previas, y así si también $Y\twoheadrightarrow X$ entonces $2^X\leq 2^Y$ y así $X\sim Y$ por el ICF. QED

Teorema. ICF implica que no hay conjuntos infinitos D-finitos infinitos.

Prueba. (Esta es una solución al ejercicio que mencionas). Si $A$ es infinito y Dedekind-finito, entonces dejemos que $B$ sea el conjunto de todas las secuencias finitas finitas no repetitivas de $A$ . Esto también es D-finito, ya que un subconjunto contablemente infinito de $B$ da lugar fácilmente a un subconjunto contablemente infinito de $A$ . Pero mientras tanto, $B$ se proyecta sobre $B+1$ ya que podemos mapear la secuencia vacía al nuevo punto, y aplicar el mapa de desplazamiento para cortar el primer elemento de cualquier secuencia. Así que $B$ y $B+1$ se proyectan entre sí, por lo que por el resultado dual Cantor-Schöder-Bernstein, son biyectivas, contradiciendo el hecho de que $B$ es D-finito. QED

Aquí está la parte nueva:

Teorema. El ICF implica que $\kappa^+$ inyecta en $2^\kappa$ para cada ordinal $\kappa$ .

Prueba. Podemos suponer $\kappa$ es infinito. Obsérvese que $2^{\kappa^2}$ se proyecta sobre $\kappa^+$ ya que cada $\alpha<\kappa$ está codificado por una relación en $\kappa$ . Desde $\kappa^2\sim\kappa$ Esto significa que $2^\kappa\twoheadrightarrow\kappa^+$ y en consecuencia $2^{\kappa^+}\leq 2^{2^\kappa}$ , mediante la toma de imágenes previas. De ello se desprende que $2^{2^\kappa}=2^{2^\kappa}\cdot 2^{\kappa^+}=2^{2^\kappa+\kappa^+}$ y por lo que por ICF obtenemos $2^\kappa+\kappa^+=2^\kappa$ , lo que implica $\kappa^+\leq 2^\kappa$ como se desee. QED

Esta conclusión ya contradice a AD, por ejemplo, ya que AD implica que no hay $\omega_1$ secuencia de reales distintos, que viola la conclusión cuando $\kappa=\omega$ . En particular, esto demuestra que ICF implica $\neg$ AD, por lo que en todo modelo AD existen conjuntos de diferentes cardinalidades, cuyos conjuntos de potencias son equinuméricos.