¿Todo anillo de enteros se encuentra dentro de un anillo monogénico de enteros?

Question

Dado un campo numérico $K/\mathbf{Q}$ cuyo anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ no es, en general, de la forma $\mathbf{Z}[\alpha]$ (no monogénico), ¿existe una extensión $L/K$ que tiene $\mathcal{O}_L= \mathbf{Z}[\alpha]$ (es monogénico)?

Esta pregunta es importada de stackexchange de matemáticas .

Como ha señalado Jake: Kronecker-Weber implica que esto es cierto cuando $K/\mathbf{Q}$ es abeliana.

Answer 1

Una de las razones por las que esto podría ser imposible es una obstrucción local. ¿Es el caso de que, para algunos $p$ no hay ningún grado $k$ extensiones $L$ donde $\mathcal O_L \otimes \mathbb Z_p$ es monogénico sobre $\mathbb Z_p$ ?

Esto puede ocurrir en el caso de pequeñas $k$ pero no hay obstáculos para $k$ suficientemente grande. Basta con demostrar que existe un grado $k$ extensión no ramificada de $K \otimes \mathbb Q_p$ un producto de campos locales, tal que su anillo de enteros es monogénico. Cualquier elemento del producto de anillos locales que sea un generador de cada anillo local (por ejemplo, una raíz de la unidad que genere el campo de residuos veces 1 + una raíz de la unidad) y que tenga un polinomio mínimo diferente en cada campo de residuos hace el truco. Esto siempre ocurrirá cuando los campos de residuos sean lo suficientemente grandes como para que el número de polinomios irreducibles diferentes de los generadores sea al menos el número de campos locales que aparecen en el producto. Si tomamos nuestra extensión como el producto del grado $k$ extensión no ramificada de cada campo local que aparece en $K \otimes \mathbb Q_p$ entonces el número de campos locales sigue siendo $[K:\mathbb Q]$ pero el número de polinomios irreducibles crece exponencialmente en $k$ .

Sin embargo, puede que no sea tan fácil encontrar esa extensión. Ya no es obvio que exista una extensión que satisfaga la condición más débil de que $\mathbb Z[\alpha]=\mathcal O_K[\alpha]$ . De hecho, hay que tener en cuenta que si $\alpha$ tiene un polinomio mínimo $f(x)$ en $\mathcal O_K$ de grado $k$ entonces el discriminante de $\mathcal O_K[\alpha]$ es $\Delta(f) \Delta_K^k$ mientras que el polinomio mínimo de $\alpha$ en $\mathbb Z$ es $N_{K/\mathbb Q}( f(x))$ por lo que el discriminante de $\mathbb Z[\alpha]$ es $\Delta(N_{K/\mathbb Q}( f(x)))$ . El cociente de estos dos discriminantes es el cuadrado del índice de $\mathbb Z[\alpha]$ en $\mathcal O_K[\alpha]$ .

Podemos parametrizar los posibles polinomios mediante $k[K:\mathbb Q]$ coordenadas enteras, $[K:\mathbb Q]$ para cada coeficiente de $f$ . Ambos $N_{K/\mathbb Q}( f(x))$ y $\Delta(f) \Delta_K^k$ son polinomios en estas coordenadas. Como su razón es siempre un entero, debe ser algún polinomio en esas coordenadas. Como siempre es un cuadrado perfecto, debe ser el cuadrado de algún polinomio $g$ de las coordenadas.

Este índice sólo puede ser igual a uno si $g= \pm 1$ . Se trata de una ecuación diofantina.

Podemos estudiar esta ecuación para intentar comprenderla incluso cuando $\mathcal O_K$ ya es monogénica, lo que podría ser una buena idea. En particular, sospecho que podría tener sólo un número finito de soluciones para cada $K$ y $k$ . Si esto es así, probablemente sea difícil demostrar que existe una solución, aunque siempre haya una.

Answer 2

[edit: inicialmente pensé que no hay obstrucción local pero ahora no estoy seguro de ello así que he borrado lo que escribí al respecto]

Aunque no tengo pruebas, sospecho que la mayoría de los campos $K$ son ejemplos contrarios a la pregunta del PO. Empíricamente, la mayoría de los campos numéricos no son monogénicos. Si calculas el mejor generador que los polredabs en GP/PARI pueden encontrar, y encuentras que no genera $O_K$ como es casi siempre el caso (excepto en el caso de grado bajo o ciclotómico, etc.), entonces es muy probable que $O_K$ no es monogénico. Si $O_K$ es monogénico pero polredabs no encontró un generador para $O_K$ entonces $O_K$ tendría un generador mucho mejor que el encontrado por polredabs. Ahora bien, polredabs en GP/PARI se basa en técnicas LLL, y aunque no se puede demostrar que LLL encuentra el mejor elemento, sólo es un factor acotado peor que el óptimo. Esto significa que la observación empírica de que polredabs normalmente no encuentra un generador para $O_K$ hay buenas pruebas empíricas de que la mayoría de estos $O_K$ no son monogenéticos. Es difícil ver cómo el aumento del grado podría ayudar globalmente, por lo que parece probable que para la mayoría de los campos $K$ (salvo casos muy especiales) no habrá prórroga $L$ para lo cual $O_L$ es monogénico.