¿Cuándo se está "preparado" para hacer aportaciones originales a las matemáticas?

Question

Se trata de una cuestión bastante filosófica y blanda que se puede trasladar si es necesario.

Así que, básicamente, empecé mi doctorado hace 9 meses y me he lanzado a aprender más matemáticas y me ha parecido una experiencia agradable y gratificante. Sin embargo, me he dado cuenta de lo mucho que me falta para llegar a un punto en el que pueda pensar en publicar contribuciones originales en la literatura, dado lo intensamente que se ha estudiado todo y los descubrimientos que se han hecho.

Por ejemplo, acabo de terminar un libro de texto de 600 páginas sobre matemáticas de nivel universitario. Aunque me costó un poco entenderlo todo, aprendí y disfruté haciendo los ejercicios, pero al final me di cuenta de que básicamente sigo sin saber nada y que en realidad está pensado como un trampolín hacia textos un poco más avanzados. Cogí otro libro que empieza a profundizar en uno de los aspectos específicos del libro y, de nuevo, tiene 500 páginas.

¿Tengo que leer otro libro de 500 páginas para tener una idea más concreta que pueda aportar? A este ritmo, pasarán años y años antes de que pueda publicar algo.

Más tarde: Estoy leyendo esto unos años después y me doy cuenta de que la pregunta puede ser difícil de responder, ya que depende de muchas cosas (hay algunos problemas en los que se podría contribuir decisivamente sin saber nada de matemáticas). Sin embargo, dejaré la pregunta ya que creo que es algo que muchos estudiantes se preguntan y hay algunos consejos genéricos útiles en las respuestas.

Answer 1

Es una especie de mito que todo esté ya estudiado y que haya que dominar miles de páginas de trabajos anteriores antes de poder aportar algo nuevo.

Sin duda, hay algunos subcampos de las matemáticas que son muy técnicos, y es poco probable que puedas aportar algo nuevo a ellos a menos que hayas estudiado mucho material de base. Sin embargo, también hay áreas de las matemáticas que no requieren tantos conocimientos previos. Por ejemplo, Aubrey de Grey hizo recientemente avances espectaculares en un problema abierto desde hace mucho tiempo en la combinatoria, y casi no se necesitan conocimientos previos para ese problema. Incluso en áreas supuestamente muy técnicas de las matemáticas, a veces se producen avances que emplean muy poca maquinaria avanzada.

Como otros han mencionado, más crucial que "saberlo todo" es (1) encontrar un buen problema en el que trabajar, y (2) tener capacidad para resolver problemas. Si tienes ambas cosas, normalmente puedes aprender lo que necesitas sobre la marcha. Cuando se está en una fase temprana de la carrera, para encontrar un buen problema suele ser necesario un asesor, a menos que se tenga la rara habilidad de olfatear buenos problemas por sí mismo simplemente leyendo la literatura y escuchando charlas. La capacidad de resolver problemas es probablemente innata en cierta medida, pero gran parte se reduce a la experiencia y la persistencia. Por supuesto, serás un solucionador de problemas más poderoso si tienes un montón de herramientas en tu caja de herramientas, pero en general, se mejora en la resolución de problemas pasando el tiempo directamente intentando resolver problemas, y sólo leyendo los libros de 500 páginas cuando se hace evidente que son necesarios para resolver el problema que tienes en mente.

Answer 2

Las matemáticas no se aprenden leyendo libros. Uno se convierte en matemático investigador resolviendo problemas. La mayoría de la gente necesita un asesor que le recomiende un buen problema. Entonces se empieza a pensar y a leer lo que es relevante para su problema específico. La educación general mediante la lectura de libros con cientos de páginas puede hacerse como un proceso paralelo, pero el énfasis principal debe estar en un problema específico. Es un deber de el asesor encontrar un problema que no requiera demasiada lectura.

Hay muchos ejemplos que demuestran estos principios. Muchos buenos matemáticos obtuvieron sus primeros resultados originales antes de los 18 años o incluso mucho antes, en la época en que aprendieron muy poco.

Yo mismo publiqué mi primer artículo a los 18 años, cuando era estudiante de segundo curso de licenciatura. En aquella época no sabía mucho de matemáticas. No digo que este trabajo esté entre mis mejores, y en la actualidad no publicaría un resultado así, pero esto es irrelevante. Lo que quiero decir es que hay que resolver problemas, no leer libros. No es necesario que los problemas que resuelvas al principio sean nuevos/publicables. Pero con el tiempo obtendrás nuevos resultados. Encontrar un buen asesor es una cuestión crucial, para la mayoría de la gente.

Answer 3

Como respuesta parcial, aprende a confiar en la revisión por pares. Cuando se empieza a estudiar matemáticas a nivel de posgrado, uno se centra en las pruebas y rara vez va más allá de las afirmaciones que pueden reducirse exhaustivamente a los axiomas básicos. En cierto modo, ése es el ideal de las matemáticas. Pero, cuando se llega a la frontera de la investigación, se puede descubrir que es necesario utilizar una afirmación contenida en el documento A, que en un paso crucial de su demostración invoca un resultado del documento B, que a su vez invoca los documentos C, D y E, ... Tal vez se necesiten meses de trabajo para ver cómo esa única afirmación se deduce en última instancia de lo que se sabe actualmente. Si te sumerges en cada una de esas madrigueras que encuentras, es poco probable que avances. El conocimiento exhaustivo de los antecedentes no es un requisito previo para la creación de nuevos conocimientos. Se puede explorar lo que se deduce de lo que se conoce actualmente, sin reducir primero lo que se conoce actualmente a los primeros principios.

Answer 4

Me puse en una posición en la que podía contribuir a las matemáticas sin necesidad de publicar. No sugiero que pases la mitad de tu tiempo en MathOverflow como sustituto de tu carrera o para impulsarla. Sin embargo, pensar en una variedad de problemas te permite hacer conexiones con cosas que has estudiado y definir y modificar tus áreas de interés. Una buena participación en este foro puede ser una contribución a las matemáticas.

Alain Valette tuvo la amabilidad de mencionar en un artículo un ejemplo https://mathoverflow.net/a/64754 mía a una pregunta suya. Se trata de una contribución a pequeña escala, pero que forma parte de una colección creciente de las mías basadas en mi actividad aquí. Le animo a compartir algunas de sus contribuciones aquí, a través de preguntas, respuestas y comentarios. Le preparará para el tipo de contribución fuera de MathOverflow que puede desear hacer.

Gerhard "Come And Join The Party" Paseman, 2019.08.24.

Answer 5

Creo que uno está preparado para hacer una contribución original cuando entiende el problema y también entiende por qué su solución lo resuelve.

Las matemáticas están pensadas para hablar de ideas, abstracciones y verdades por encima del prestigio o la autoridad.

Este tema suele surgir cuando dejamos de pensar por nosotros mismos y situamos las matemáticas en una mentalidad sociológica.

En lugar de pensar "¿Por qué lo definimos así? ¿Por qué las herramientas existentes son insuficientes? ¿Por qué funciona esta prueba? ¿Puedo revisar esta teoría para que sea más concisa?", empezamos a pensar "Tío, esta persona escribió 1000 páginas de matemáticas, es imposible que lo entienda todo".

Es una ironía: cuanto menos se entiende una teoría, más difícil es desafiarla. En muchos casos, uno carece efectivamente de conocimientos clave para comprender plenamente la teoría. Pero TAMBIÉN habrá inevitablemente casos en los que cada miembro de la población asuma que algún otro miembro lo sabe mejor que él, por lo que ningún miembro intenta desafiar la teoría. Cada capítulo o argumento puede ser optimizado localmente, pero no obstante existen oportunidades en el ámbito global para realizar enormes simplificaciones.

Es importante poder rebatir los argumentos. Si una teoría es tan grande y compleja que las enmiendas no pueden entenderse dentro del contexto general de la teoría, es poco probable que dicha enmienda se simplifique o asimile. En tales casos, las teorías matemáticas suelen sufrir un proceso de explosión

La cuestión es que el hecho de que haya teorías muy amplias que requieran años de trabajo para entenderlas es una razón más para creer que existen oportunidades para hacer contribuciones.