¿Por qué el papel de la teoría de juegos de John Nash en 1950 fue tan importante?

Question

Estoy tratando de comprender por qué John Nash, 1950 2-página de papel que fue publicado en PNAS, era una gran cosa. A menos que me equivoco, el de 1928 papel por John von Neumann demostró que todos los n-jugador no cooperativos y juegos de suma cero poseer un equilibrio de la solución en términos de puro o mezclado estrategias.

Por lo que yo entiendo, Nash utilizado iteración de punto fijo para probar que la falta de juegos de suma cero también tendría el resultado análogo. Por qué fue este un gran problema a la luz de la anterior trabajo de von Neumann?

Hay dos referencias que me ofrecen que son buenos: Uno es este el debate sobre pruebas simples de Nash del teorema y este es un muy bien hecho (legible y precisa) estudio de la historia en PNAS.

Answer 1

Creo que von Neumann se aborda el caso de $n=2$, y no fue evidente cómo extender el concepto de equilibrio para el caso general, y demostrar que siempre existe. Más precisamente, $n$ jugadores antes de que Nash se redujeron a la $n=2$ caso por partioning los jugadores en dos grupos en todas las formas posibles. Una vez que respecto de varios de los jugadores como un solo jugador, que están destinados a cooperar como se debe actuar como un solo jugador. Nash es muy claro acerca de esto en su 1951 Anales de papel:

Von Neumann y Morgenstern han desarrollado una muy fructífera la teoría de dos personas juegos de suma cero, en su libro Teoría de Juegos y Comportamiento Económico. Este libro también contiene una teoría de la $n$-persona juegos de un tipo que podríamos llamar a la cooperativa. Esta teoría se basa en un análisis de las interrelaciones de las diversas coaliciones que puede ser formado por los jugadores de la juego.

Nuestra teoría, en contraposición, se basa en la ausencia de coaliciones en que se supone que cada participante actúa de forma independiente, sin la colaboración o la comunicación con cualquiera de los otros.

La noción de un punto de equilibrio es el ingrediente básico de nuestra teoría. Este noción de los rendimientos de una generalización del concepto de la solución de dos personas de suma cero en el juego. Resulta que el conjunto de puntos de equilibrio de dos personas de suma cero en el juego es simplemente el conjunto de todos los pares de opuestos "buenas estrategias." En los siguientes apartados vamos a definir los puntos de equilibrio y probar que un número finito de no-juego cooperativo siempre tiene al menos un equilibrio punto. También debe introducir los conceptos de solvencia y fuerte solvencia de un no-juego cooperativo y demostrar un teorema sobre la estructura geométrica de el conjunto de puntos de equilibrio de una solución de juego.

Answer 2

Esta respuesta se superpone con otras respuestas pero creo que otra reformulación puede ser útil, ya que la situación es un poco confusa.

Después de dos personas de suma cero en el resultado, es natural preguntarse acerca de la extensión de los resultados a $n>2$ y a los juegos de suma cero. A veces se afirma que Nash fue el primero en llevar a cabo esta extensión, pero esto es un poco engañoso, ya que von Neumann y Morgenstern hizo considerar tanto $n>2$ y no juegos de suma cero y probado varias cosas acerca de ellos. Sin embargo, el punto clave es que es importante hacer la pregunta adecuada. Intuitivamente, la cuestión básica en la teoría del juego es encontrar la "mejor estrategia", pero no es inmediatamente claro lo que esto significa en un $n$-persona no juego cooperativo. Ahora sabemos, gracias a Nash, que un básico de la condición necesaria para que un conjunto de estrategias para ser "óptima" es para ellos para formar un equilibrio de Nash, pero von Neumann y Morgenstern no pegaba en este concepto. Cuando trataron $n$-persona de juegos, se abordaron diferentes preguntas, tales como ¿qué pasa si los jugadores forman dos coaliciones. Así que Nash no sólo responder a la pregunta obvia; la pregunta correcta no era obvio, pero se encontró que de todos modos, y la respondió.

El segundo aspecto innovador de Nash del trabajo es que las dos personas de suma cero en el resultado se basa en la teoría de la programación lineal y minimax. La prueba de la existencia de un equilibrio de Nash requiere de diferentes técnicas. Así que el enfoque ingenuo a la generalización, es decir, mirando a la existente resultado y tratando de averiguar cómo utilizar las mismas ideas que demostrar algo más general, no conduce a Nash idea clave.

Answer 3

El significado es el mejor interpretada en conjunción con Nash acompañamiento del trabajo.

Myerson da una buena historia de la teoría: http://home.uchicago.edu/rmyerson/research/jelnash.pdf

Aquí están algunos puntos importantes:

Así, von Neumann (1928) argumentó que prácticamente cualquier juego competitivo puede ser modelado por un juego matemático con la siguiente estructura simple: Hay un conjunto de jugadores, cada jugador tiene un conjunto de estrategias, cada jugador tiene una rentabilidad función del producto Cartesiano de estos la estrategia de los conjuntos de los números reales, y cada jugador debe elegir su estrategia de forma independiente de la otros jugadores. ...

Von Neumann no siempre se aplican este principio de independencia estratégica, sin embargo. En su análisis de juegos con más de dos jugadores, von Neumann (1928), asumió que los jugadores no simplemente elegir sus estrategias de forma independiente, sino que coordinar sus estrategias en las coaliciones. Además, por su énfasis en el max-min de valores, von Neumann fue suponiendo implícitamente que cualquier elección de la estrategia para un jugador o coalición debe ser evaluado contra el resto de los jugadores " respuesta racional, como si los demás podían planear su respuesta después de observar este la elección de la estrategia. Antes de Nash, sin embargo, nadie parece haber notado que estos supuestos eran incompatibles con von Neumann propio argumento para la independencia estratégica de los jugadores en la forma normal.

Von Neumann (1928) también se han añadido dos restricciones a su forma normal que severamente limitada su pretensión de ser un modelo general de la interacción social para todas las ciencias sociales: Se supone que rentabilidad es transferible, y que todos los juegos son de suma cero.

En contraste, Nash proporcionado una manera de lidiar con el problema más general de la no-transferible utilidad y no juegos de suma cero.

Pero las novedades más importantes de la contribución de Nash (1951), totalmente tan importante como el general la definición y la existencia de prueba de Nash (1950b), fue su argumento de que de este modo no cooperativo concepto del equilibrio, junto con von Neumann forma normal, nos da una completa general metodología para el análisis de todos los juegos.... Von Neumann forma normal es nuestro modelo general para todos los juegos, y el equilibrio de Nash es nuestra solución general concepto. ...

Nash (1951) también señaló que, en el supuesto de utilidad transferible puede quitar sin pérdida de generalidad, porque las posibilidades de transferencia se puede poner en los movimientos del juego sí, y él cayó de la suma cero restricción de que von Neumann había impuesto.

Answer 4

Como ha dicho acertadamente,, Nash definido un concepto de equilibrio para juegos de suma cero con $n$ los jugadores, y demostró la existencia (pero no la singularidad de curso) de tal, mientras que Von Neumann y Morgenstern hizo que sólo por $n=2$ (o más $n$, pero con muy fuertes hipótesis sobre el juego que reduce el problema a un juego con $n=2$ de los jugadores). Pero es importante tener en cuenta que al hacerlo, Nash también define el concepto de equilibrio para no-suma cero, en los juegos de con $n$ los jugadores, para un juego es equivalente a un juego de suma cero con $n+1$ jugadores: sólo hay que añadir un nuevo jugador, el "banco", cuya ganancia/pérdida se define como el negativo de la suma de las ganancias de cada uno de los otros jugadores.

Dicho esto, el mundo real significado del concepto de equilibrio de Nash es muy difícil, y no es claro si/cuando ese concepto es el más adecuado para analizar una situación de juego, mientras que en el caso de $n=2$, la de Von Neumann/Morgenstern concepto es mucho más, obviamente, el único bueno.

Answer 5

Permítanme comenzar con mi propio punto de vista:

El concepto de equilibrio de Nash y el acompañamiento de la existencia es el teorema de entre las muy pocas las piedras angulares en el modelado matemático de nuestro la realidad .

Permítanme añadir un par de enlaces más. Un papel por Ariel Rubinstein titulado "John Nash en el maestro de los modelos económicos" y un documento basado en un seminario titulado: "La obra de John Nash en la teoría de juegos." Esto incluye la siguiente cita de un artículo anterior por Aumann.

Equilibrio de Nash es probablemente la razón principal para el "juego de la teoría de la revolución" en el teórico de la economía.