¿Existe un grupo de orden impar cuyo orden es la suma de los órdenes de los subgrupos normales propios?

Question

Para un grupo finito G, dejemos que |G| denote el orden de G y escribamos $D(G) = \sum_{N \triangleleft G} |N|$ la suma de los órdenes de los subgrupos normales. Me gustaría llamar a G "perfecto" si D(G) = 2|G|, ya que entonces el grupo cíclico de orden n es perfecto si y sólo si el número n es perfecto. Pero el término "grupo perfecto" es tomado Así que llamaré a ese grupo inmaculado .

Mi pregunta es:

¿Existe un grupo inmaculado de orden impar?

Desde el cíclico Los grupos inmaculados se corresponden uno a uno con los números perfectos, una respuesta "no" demostraría inmediatamente la famosa conjetura de que no hay números perfectos Impares. Sin embargo, tal vez alguien pueda ver fácilmente que hay un no -grupo cíclico inmaculado de orden impar, demostrando que la respuesta es "sí".

Esto es lo que sé. No hay grupos abelianos inmaculados, excepto los cíclicos. ( Editar En términos más generales, si $D(G) \leq 2|G|$ entonces todo cociente abeliano de $G$ es cíclico. Prueba: no es difícil, y dado aquí .) Sin embargo, existen grupos inmaculados no abelianos, por ejemplo $S_3 \times C_5$ (de orden 30). Derek Holt ha calculado todos los grupos inmaculados de orden inferior o igual a 500. Sus órdenes son $$ 6, 12, 28, 30, 56, 360, 364, 380, 496 $$ ( Secuencia de números enteros A086792 ). De ellos, sólo 6, 28 y 496 son números perfectos; el resto corresponden a grupos inmaculados no abelianos. También se conocen algunos grupos inmaculados no abelianos de mayor orden, por ejemplo $A_5 \times C_{15128}$ , $A_6 \times C_{366776}$ y, para cada número perfecto par n, un determinado grupo de orden 2n. Pero estos también tienen un orden par.

Editar : Steve D señala que los grupos p nunca pueden ser inmaculados. Esto también aparece como Ejemplo 2.3 aquí se deduce inmediatamente del Teorema de Lagrange. Debería haber mencionado esto, ya que descarta una vía fácil para una respuesta afirmativa.

Answer 1

He hecho una pequeña búsqueda en el ordenador y creo que he encontrado un ejemplo de grupo inmaculado de impar.

He buscado grupos de la forma $G=(C_q \rtimes C_p) \times C_N$ con primos Impares $p,q$ tal que $p | q-1$ y $N$ un número entero impar que satisface $(N,pq)=1$ . Utilizando las notaciones y resultados de Tom, tenemos

\begin{equation*} \frac{D(G)}{|G|} = \frac{D(C_q \rtimes C_p)}{|C_q \rtimes C_p|} \cdot \frac{D(C_N)}{|C_N|} = \frac{1+q+pq}{pq} \cdot \frac{\sigma(N)}{N} \end{equation*} donde $\sigma(N)$ denota la suma de los divisores de $N$ . Queremos $\frac{\sigma(N)}{N} = \frac{2pq}{1+q+pq}$ . Como la última fracción es irreducible, $N$ tiene que ser de la forma $N=(1+q+pq)m$ con $m$ impar. He encontrado la siguiente solución :

\begin{equation*} p=7, \quad q=127, \quad m=393129. \end{equation*} Esto da el grupo inmaculado $G=(C_{127} \rtimes C_7) \times C_{399812193}$ que tiene orden $|G| = 355433039577 = 3^4 \cdot 7 \cdot 11^2 \cdot 19^2 \cdot 113 \cdot 127$ .

Edit : aquí está el principio de una explicación del "por qué" $m$ es cuadrado en este ejemplo ( $393129=627^2$ ). Recordemos que un número entero $n \geq 1$ es un cuadrado si y sólo si su número de divisores es impar (considere la involución $d \mapsto \frac{n}{d}$ en el conjunto de divisores de $n$ ). Si $n$ es impar, entonces todos sus divisores son impar, por lo que $n$ es un cuadrado si y sólo si $\sigma(n)$ es impar. Ahora considere $N=(1+q+pq)m$ como en el caso anterior. La condición de $\sigma(N)/N$ implica que $\sigma(N)$ es par pero no divisible por $4$ .

Si asumimos que $1+q+pq$ y $m$ son coprimos, entonces $\sigma(N)=\sigma(1+q+pq) \sigma(m)$ por lo que el razonamiento anterior muestra que $1+q+pq$ o $m$ es un cuadrado (pero no ambos). Si $1+q+pq=\alpha^2$ entonces $\alpha \equiv \pm 1 \pmod{q}$ para que $\alpha \geq q-1$ lo que lleva a una contradicción. Por lo tanto, $m$ es un cuadrado (es posible demostrar además que $1+q+pq$ es un primo por un cuadrado).

Si $1+q+pq$ y $m$ no son coprimos, la situación es más intrincada (esto es lo que ocurre en el ejemplo que encontré : teníamos $\operatorname{gcd}(1+q+pq,m)=9$ ). Sea $m'$ sea el mayor divisor de $m$ que es relativamente primordial para $1+q+pq$ . Poner $m=\lambda m'$ . Entonces $\lambda(1+q+pq)$ o $m$ es un cuadrado. No veo un argumento para excluir la primera posibilidad, pero al menos si $\lambda$ es un cuadrado, entonces también lo es $m$ .

Answer 2

Con casi una década de retraso en la fiesta, pero aquí tenemos otro ejemplo:

$$(C_7 \rtimes C_{3^2}) \times (C_{19^2} \rtimes C_5) \times C_{11^2 \cdot 197} = \text{SmallGroup}(63, 1) \times \text{SmallGroup}(1805, 2) \times C_{23837}.$$ donde $\text{SmallGroup}(a,b)$ denota el $b$ grupo de orden $a$ según la base de datos del GAP. Entonces: $$\frac{D(C_7 \rtimes C_{3^2})}{|C_7 \rtimes C_{3^2}|}\frac{D(C_{19^2}\rtimes C_5)}{|C_{19^2}\rtimes C_5|}\frac{D(C_{11^2})}{|C_{11^2}|}\frac{D(C_{197})}{|C_{197}|} = \frac{95}{63}\cdot \frac{2167}{1805}\cdot \frac{133}{121}\cdot \frac{198}{197} $$ $$=\frac{5 \cdot 19}{3^2\cdot 7} \cdot\frac{11 \cdot 197}{5\cdot19^2}\cdot \frac{7 \cdot 19}{11^2}\cdot \frac{2 \cdot3^2\cdot 11}{197}=2.$$ Este grupo es de orden $2710624455$ y, por tanto, es unas 100 veces menor que el ejemplo de François Brunault.

Encontré este grupo para un proyecto de uno de mis cursos. Los grupos inmaculados parecen ser muy raros en general, los ejemplos de orden son aún más difíciles de encontrar. Para más resultados, véase http://www.math.ru.nl/~bosma/Estudiantes/JorisNieuwveld/A_note_on_Leinster_groups.pdf

Answer 3

Existen grupos inmaculados de orden impar; por ejemplo (C13 : C3) x C477, un grupo de orden 18603. De hecho, resulta que estoy escribiendo un artículo con Attila Maróti precisamente sobre grupos inmaculados...