¿Se resuelve la conjetura de Schauder?

Question

Schauder de la Conjetura: "Cada función continua, a partir de un vacío compacto y convexo conjunto en un (Hausdorff) espacio vectorial topológico en sí, tiene un punto fijo." [Problema 54 en El Scottish Book]

Me pregunto si esta conjetura se resuelven. Sé R. Cauty [Solución du problème de punto fijo de Schauder, Fondo. De matemáticas. 170 (2001) 231 a 246] propuso una respuesta, pero al parecer en la conferencia internacional "Punto Fijo de la Teoría y sus Aplicaciones" en el año 2005, T. Dobrowolski comentó que hay una brecha en la prueba.

Answer 1

He tomado los siguientes a partir de la revisión de los siguientes papel "Schauder la conjetura de convexo métrica espacios" escrito en el 2010 :

Uno de los más resistentes a los problemas abiertos en la teoría de la nonlocally convexa lineal métrica del espacio es:

Schauder de la Conjetura. Deje $E$ ser un compacto convexo subconjunto de un espacio vectorial topológico. Entonces cualquier asignación continua $f:E\to E$ tiene un punto fijo.

En este trabajo, los autores demuestran que para convexo métrica de espacios y, en consecuencia, compacto convexo de subconjuntos de a $CAT(0)$ espacio tiene en el punto fijo de la propiedad continua de las asignaciones.

Así que parece que el problema en su forma general, está abierto todavía.

Answer 2

En los Puntos de correcciones des aplicaciones compactes dans les espaces ULC publicado en arXiv en 2010 Robert Cauty escribió

il y un d'ailleurs une erreur dans la demostración du déjame 3 de [2], qu'il n'y a plus de razón de corriger, vu la superiorite de la nouvelle approche

(hay, por cierto, un error en la prueba del lema 3 de [2] para el que no hay necesidad de corrección en vista de la superioridad del nuevo enfoque)

Parece por lo tanto que Cauty todavía (o de nuevo) afirma que la Schauder conjetura está resuelto.

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Edición (Agosto De 2016). Yo estaba bastante sorprendido de que aparentemente no hay ninguna versión del mencionado artículo publicado en una revista internacional. Mientras que buscando en la web me enteré de que Robert Cauty murió en 2013.

Answer 3

Hay un artículo de R. Catty de 2012 titulado 'Un teorema de Lefschetz-Hopf pour les fonctions a iterees compactes' que según lo que escuché fue revisado para establecer una prueba correcta de la conjetura de Schauder (o más bien una generalización para iteraciones de f), y aparecerá en una revista internacional.