Me gustaría añadir un poco más de contexto para el registro aquí, para amplificar y extender Jacques Carrette de la respuesta así como la información adicional en los comentarios:
Los polinomios de Chebyshev, junto con sus parientes cercanos los mapas $z \to z^n$, son los únicos polinomios exhibiendo la propiedad descrita en la pregunta, hasta afín coordinar el cambio. Geométricamente, el mapa de $z \to z^n$ es $n$veces cubriendo mapa del cilindro $\mathbb C \setminus 0$ sobre sí mismo. Este cilindro tiene una orden de 2 de simetría $z \to z^{-1}$ que conmuta con la cobertura de mapa. El cociente del cilindro por la simetría es equivalente a $\mathbb C$, o la preservación de un poco más de información, es un orbifold estructura en $\mathbb C$, con dos orden de 2 de cono puntos en $\pm 2$.
La expresión $z + z^{-1}$ es la fórmula para el quotienting mapa
$\mathbb C \setminus 0 \to \mathbb C$. El cilindro puede ser desenvuelto más a la universalización de la cobertura (también se $\mathbb C$) de $\mathbb C \setminus 0$; el cociente de mapas de la cobertura universal a los dos cocientes se $\exp$ e $\cos$, y para los polinomios de Chebyshev (hasta afín a la normalización) son las fórmulas para $\cos$ en un ángulo en términos de $\cos$ de un ángulo.
Sin embargo, existen otras racional de las funciones que admitir explícito de la analítica de las fórmulas para la iteración. Estos son los llamados Lattès ejemplos, nombrado después de que Samuel Lattès que los descubrió en 1918
(aunque según Milnor del artículo en el Bodil Branner festschrift, Schöder describe ejemplos similares casi 50 yeasr anteriores, pero parece que se han olvidado).
El Lattès ejemplos son la simetría de los cocientes de isomorphisms de la pared de papel de los grupos para la adecuada subgrupos. Para cada orientación de la preservación de la pared de papel de los grupos excepto en el grupo de las traducciones, el cociente del espacio (fondo de pantalla del modulo de simetría) es topológicamente una esfera. Cada grupo es isomorfo a los subgrupos de sí mismo en una infinidad de maneras. Estos isomorphisms descender a ramificada cubiertas del cociente más de espacio que en sí mismo: en el lenguaje de funciones complejas estas son racionales los mapas, en el lenguaje de orbifolds de auto-cubrimientos.
Tienen un papel importante como excepcionales en los ejemplos de dinámicas complejas, y están bien understaood, con un montón de buenas fotos disponibles en algún lugar en la literatura. Por ejemplo, un endomorfismo de la segmentación de los grupos cuya fórmula es la multiplicación por el número complejo $\lambda$ puede ser utilizado para un tipo de base $\lambda$ expansión de los números complejos, asociados con un auto-similar de baldosas de $\mathbb C$ (con tesela básica es los números a partir de la lambdimal punto). Al menos para algunos casos, los dígitos pueden ser dispuestos en un orden que define una esfera de llenado de la curva invariante bajo la multiplicación por $\lambda$.
Todos estos ejemplos explícitos de la analítica de las fórmulas para las iteraciones, completamente análoga a la fórmula de $z \to 2 \cos (k^n \arccos ( z/2))$ de la $n$th recorrer de la $k$ésimo polinomio de Chebyshev. En la Chebyshev fórmula, $\cos$ es el universal que cubre mapa de $\mathbb C$ de la $(22\infty)$ orbifold. Para el papel tapiz grupos, el universal, cubriendo los mapas son funciones elípticas en lugar de $\cos$. El racional mapa de elevaciones de la multiplicación por un número complejo $\lambda$, por lo que levante la cubierta, se multiplica por una potencia de $\lambda$, y el mapa de la espalda baja.
