En Dick Lipton del blog, he publicado un breve ensayo sobre demi-funciones exponenciales, que repito aquí:
Para ampliar Ken observaciones con respecto a demi-funciones exponenciales (que es un buen nombre para ellos!), la estructura analítica de estas funciones se deriva de la de Lambert $W$ función, que es el sujeto de un artículo clásico Sobre la Función W de Lambert (1996) por Corless, Gonnet, la Liebre, Jeffrey, y Knuth (sí, uno de alguna manera sabía que Donald Knuth del nombre surgir en relación a una interesante función ... a fecha de este artículo ha recibido más de 1600 referencias).
La conexión que surge a través de la siguiente construcción. Supongamos que un demi-función exponencial $d$ satisface $d \circ d \circ \dots \circ d \circ z = \gamma \beta^z$ donde $d$ está compuesta $k$ veces. Decimos que $k$ es el fin de la demi-función, $\gamma$ es la ganancia y $\beta$ es la base. Es fácil demostrar que los puntos fijos de $d$ se da explícitamente en términos de la $n$-ésima rama de la función de Lambert como $z_f = -W_n(-\gamma \ln \beta)/\ln \beta$. A continuación, por una expansión de la serie acerca de estos puntos fijos (opcionalmente aumentada por un Pade resummation) es sencillo de construir el demi-funciones exponenciales, tanto de manera formal y numéricamente.
Siempre que la media exponencial de base y la ganancia de satisfacer $\gamma \le 1/(e \ln \beta)$, de tal manera que los puntos fijos asociados a la $n=-1$ rama de la $W$-función son reales y positivos, en esta construcción, los rendimientos de suave demi-funciones exponenciales que gratamente acuerdo con nuestra intuición de lo que demi-funciones exponenciales `debe" parecer.
Contra-intuitivamente, aunque, siempre que el especificado de la ganancia y la base son lo suficientemente grandes que $\gamma > 1/(e \ln \beta)$, el demi-función exponencial no tiene un valor real a puntos fijos, sino que se desarrolla salto-tipo de singularidades. En particular, el aparentemente razonables de los parámetros de $\beta=e$ e $\gamma=1$ no tienen liso demi-función exponencial asociada a ellos (al menos, esa es la evidencia numérica).
Tal vez esta es una razón por la que demi-funciones exponenciales tienen una reputación de ser difícil la construcción de ... de hecho, es muy difícil la construcción de las funciones lisas para los rangos de los parámetros que la función no tiene la suavidad deseada!
Podría ser factible (AFAICT) para escribir un artículo Sobre demi-funciones exponenciales asociados a la Función W de Lambert, y para incluir estas funciones en la norma numérica de los paquetes (SciPy, MATLAB, Mathematica, etc.).
Algunos de los desafíos que deberán cumplir, sin embargo. Sobre todo, en la actualidad no se conocen representación integral de la demi-funciones exponenciales (conocido por mí, de todos modos), y sin embargo, tal representación sería muy útil (tal vez incluso imprescindible) en rigor demostrando el análisis de las estructuras que la numérica Pade approximants nos muestran tan claramente.
Mathematica secuencia de comandos aquí (PDF).
Aquí es lo que estas funciones parecen:
halfexpPicture http://faculty.washington.edu/sidles/Litotica_reading/halfexp.png
Nota Final: Inspirado por la reciente explosión de interés en estos demi-funciones exponenciales, y principalmente para mi propio disfrute recreativo, he comprobado (numéricamente) que demi-funciones exponenciales $d$ tener (1) punto fijo $z_f = d(z_f) = 1$, y (2) cualquier asintótica orden, la ganancia, y la base puede ser fácilmente construido.
Yo estaría encantado de publicar los detalles de esta construcción ... pero no está claro que alguien tiene interés práctico en el cómputo de los valores numéricos de demi-funciones exponenciales.
Lo que la gente principalmente quería saber era: (1) Hacer suave demi-funciones exponenciales existen? (respuesta: sí), (2) Puede demi-funciones exponenciales ser calculada para cualquier precisión deseada? (respuesta: sí), y (3) Hacer demi-funciones exponenciales tienen un dócil forma cerrada, ya sea exacta o asintótica? (respuesta: no hay tales expresiones cerradas son conocidos).
