Razón por la LCM de todos los números desde 1 .. n equivale aproximadamente a $e^n$

Question

Yo calcula el MCM para todos los números naturales desde 1 hasta un límite de $n$ y se representa el resultado de más de $n$. Debido a la rápida recaudación de los números, he trazado el logaritmo del resultado, y se sorprendió al encontrar un (más o menos) la identidad de la curva ($x=y$).

En otras palabras, $LCM(1, 2, 3, ..., n)$ parece ser aproximadamente el valor de $e^n$.

Es que hay una explicación sencilla de por qué esto es así?

$LCM(a, b, c, …)$ se define como el mínimo común múltiplo de todos los argumentos $a, b, c, …$

Answer 1

Creo que esto es básicamente una forma diferente de decir exactamente lo que André Nicolas dijo en un comentario, pero se observa que el mayor poder de un determinado prime $p$ se encuentra como un factor en un número menor que $n$ se da explícitamente por $$ \lfloor\log_p(n)\rfloor=\left\lfloor\frac{\ln n}{\ln p}\right\rfloor $$ así que podemos escribir la $LCM(n)=LCM(1,2,...,n)$ explícitamente como $$ LCM(n)=\prod_{p\leq n}p^{\left\lfloor\frac{\ln n}{\ln p}\right\rfloor} $$ La aplicación de $\ln(x)$ a ambos lados, obtenemos $$ \begin{align} \ln(LCM(n))&=\sum_{p\leq n}\left\lfloor\frac{\ln n}{\ln p}\right\rfloor\cdot\ln p\\ &\approx \sum_{p\leq n}\frac{\ln n}{\ln p}\cdot\ln p\\ &=\ln n\cdot\sum_{p\leq n}1\\ &=\ln n\cdot \pi(n) \end{align} $$ donde $\pi(n)$ denota la función de conteo de los números primos menores o iguales a $n$. Ahora bien, desde el primer número teorema tenemos $\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$, de modo que estos convergen asintóticamente, nos acercamos más y más a la igualdad en la siguiente aproximación para $\ln(LCM(n))$: $$ \begin{align} \ln(LCM(n))&\approx\ln n\cdot\pi(n)\\ &\approx\ln n\cdot\frac{n}{\ln n}\\ &=n \end{align} $$ La aplicación de la inversa de $\ln(x)$, es decir,$\text{e}^x$, a continuación, muestra su estado de cuenta. Tenga en cuenta que el redondeo realizado por el piso funciones se convierte en asintóticamente insignificante.