Esta es una cita de un querido amigo que nos pregunta al resto de nosotros en Facebook. Le di una respuesta a medias, pero la verdad es que realmente no sé lo suficiente sobre esto para darle una buena respuesta.
Entonces, ¿por qué son tan complicados? ¿Los topólogos aquí quieren dar algunas respuestas para que yo pueda darle algunos comentarios a su pregunta desesperada?
Esta pregunta puede ser contestada en dos niveles. Me voy a tomar la más fácil. Realmente espero que alguien más avanzado que yo en la tradición de la topología algebraica puede recoger el disco duro.
La respuesta fácil es que si el homotopy grupos de esferas no eran tan complicado, entonces no estaríamos hablando de la homotopy grupos de esferas tanto.
Permítanme ampliar por analogía. La navaja es una herramienta útil. Se puede hacer mucho con un cortaplumas, pero hay un montón de cosas que no es bueno en el: llegar corchos de botellas, descalcificación de pescado, cortar pequeños trozos de madera, molesto llegar trozos de comida de entre los dientes ... quiero decir, yo sé que usted puede hacer un montón de esas cosas con un cortaplumas si es todo lo que tienes, pero no es la mejor manera de lograr esos objetivos. Ahora una navaja Suiza es mucho mejor en todos los. La última, probablemente, también han inbuild GPS! Pero navajas Swiss army son bastante complicados artilugios. Así que cuando usted dice, "¿por Qué son las navajas Swiss army tan complicado?", a continuación, la respuesta fácil es que si no, no estaríamos usando mucho y nos habría encontrado algo que era complicado de utilizar en su lugar.
En poco menos prosaico del lenguaje, el hecho de que el homotopy grupos de esferas que están tan complicado es lo que hace topología algebraica realmente útil. Queremos construir objetos complicados de los más sencillos. Qué podría ser más simple de las esferas? Pero para conseguir algo complicado, tiene que ser una fuente de complejidad (estoy hablando muy informalmente aquí) de lo contrario no habría ninguna esperanza real de topología algebraica nunca ayudar con otras cosas. Me refiero a que sabemos que las cosas en general en matemáticas es bastante complicado, así que vamos a necesitar algunas herramientas complicadas para el estudio. Si el homotopy grupos de esferas eran simples, a continuación, topología algebraica no sería ni la mitad tan útil como lo que es; y si ese fuera el caso, entonces no habría tantos algebraicas topologists alrededor y tu amigo probablemente no ha oído hablar de la homotopy grupos de esferas.
Permítanme terminar con un intento de aclarar lo que creo que es la parte más difícil de esta pregunta a responder. Que es, "¿por Qué ámbitos?". Podemos aceptar como dado, como he argumentado anteriormente, la necesidad de una complicada teoría para el estudio de objetos complicados; pero los métodos de topología algebraica son a prueba los objetos complicados por los más sencillos y así, con suerte, para cualquier específicos de la pregunta para deshacerse de toda complejidad innecesaria y ser capaz de ver claramente la estructura necesaria para que la pregunta específica (creo que la prueba de la Kevaire invariante problema es un ejemplo de lo que quiero decir aquí). Así que tenemos una buena fuente de "objetos simples" a la sonda. Ahora estos "objetos simples" son aquellos que parecen simples, cuando nos fijamos en ellos con las herramientas de la topología algebraica. Así que las esferas son simples porque tienen muy simple cohomology.
Pero podemos sonda algo de dos maneras: podemos tirar barro a él y ver qué se pega (que homotopy), o podemos tomar fotos de ella y ver lo que se ve desde diferentes ángulos y con diferentes condiciones de iluminación (que cohomology). Como he argumentado, la teoría debe tener un cierto grado de complejidad en algún lugar, así que es de esperar que los objetos que son simples, con respecto a un método lucen complicadas cuando se ve desde el otro. Así que ámbitos se han complicado homotopy porque han simple cohomology. En contraste, la Eilenberg-Mac Lane espacios han complicado cohomology porque han simple homotopy.
Pero aún así, "¿por Qué ámbitos?". Quiero decir, nunca nadie le pregunta, "¿por Qué el Eilenberg-Mac Lane espacios han complicado cohomology?". Supongo que es porque nadie fuera de la topología algebraica nunca cumple Eilenberg-Mac Lane espacios y por lo tanto no son objetos comunes a través de todas las matemáticas. Así que por supuesto tienen complicado cohomology porque son raros herramienta que algebraicas topologists han construido y quién sabe qué secretos ritos se utiliza para hacerlo?
Así que tal vez tengo una respuesta a mi "parte dura" de esta pregunta: es histórico. En los primeros días de la topología algebraica, la pionera homotopy teóricos tuvo la idea de estudiar un espacio de lanzar lodo y ver lo pegado. Como esto era algo nuevo para probar, buscaron la cosa más simple que se puede encontrar: esferas. Luego se dieron cuenta de que tenían un útil la teoría de que había suficiente complejidad para el estudio de los espacios, y este se puso de manifiesto por la complejidad de la homotopy grupos de esferas. Tenía la homotopy grupos de esferas sido sencillo, topología algebraica no se han salido de los grupos y, como he dicho, su amigo probablemente nunca han oído hablar de él o ellos.
Así que, en resumen, mi respuesta es: algo lo suficientemente poderoso como para el estudio de un espacio por ser lanzado en la que va a tener un cierto grado de complejidad en algún lugar; esferas fueron la primera cosa que la gente trató, y que resultó ser suficiente. (Uno podría continuar con esta preguntando: ¿por qué eran esferas suficiente? Pero la respuesta es la misma: si no fuera, habríamos ido más allá. Las esferas no son suficientes para el estudio de todo, pero son suficientes para el estudio de la mayoría de las cosas que las personas están interesadas en.)
Vas a obtener muchas respuestas diferentes dependiendo de los gustos de la topologist de responder...
Me gusta pensar homotopy grupos de esferas a través de enmarcado cobordism. Teorías como perdidos y complejo cobordism son comprensibles para un par de razones. Técnicamente no son calculables, ya que podemos entender sus cohomology tan bien sobre el álgebra de Steenrod. Pero moralmente no son comprensibles porque son susceptibles de análisis a través de la característica de las clases. Pero enmarcado bordism, la estructura de grupo es la trivial grupo. Por lo tanto la teoría va a ser trivial, o muy difícil porque no hay ninguna característica de las clases a utilizar. Resulta que es el último.
No es sólo que homotopy grupos de esferas son muy complicados, homotopy clases de mapas entre los colectores tienden en general a ser muy difícil. Por supuesto, hay algunas excepciones, por ejemplo, mapas de esferas en hiperbólico colectores, pero en general no hay ninguna razón para esperar que es fácil contar las maneras en que uno puede asignar una alta dimensión cosa en un menor dimensiones cosa; al menos, después de que uno ha visto el mapa de Hopf como un ejemplo de que esto es posible en una no-forma trivial.
Una de las razones, uno toma generalmente la homotopy grupos de esferas, creo, es que tenemos una bonita familia infinita de las esferas y que se puede construir mucho de ella. Si uno quiere calcular (estable) homotopy grupo de unos colector, creo, la costumbre intentar, sería como construir un CW-complejo de esferas y el uso de la computación para las esferas.
Aparte de la argumentación que son difíciles porque no hay ninguna razón para esperar a ser fácil: en las últimas décadas, se hizo más y más evidente que no es rico aritmética oculto en la (estable) homotopy grupos de esferas. El e-invariante y el J-homomorphism vincular a los denominadores de los números de Bernoulli y el f-invariante (véase e. g. Laures y Hornbostel&Naumann) a congruencias entre las formas modulares. El último fenómeno tiene algo que ver con Topológica de las Formas Modulares y el trabajo de Behrens y Lawson en Topológico Automorphic Formas da esperanza a relacionar la homotopy grupos de esferas, incluso a la arithemetic de automorphic formas.
Otra perspectiva de la pregunta es desde el punto de vista de la complejidad computacional. De acuerdo a este documento (https://arxiv.org/pdf/1304.7705.pdf), para simplemente conectado finito simplicial complejo de $X$, la informática, la $\pi_n (X)$ es computacionalmente muy duro problema con respecto al parámetro $n$ ($W[1]$-duro para ser concretos).
Se ha sabido durante mucho tiempo que la mayor homotopy grupos a través de algoritmos computable (los primeros resultados volver a Marrón), y más tarde se demostró (https://arxiv.org/pdf/1211.3093.pdfque no existe un algoritmo que para un finito simplemente conectado simplicial complejo de $X$ e $n \geq 2$ calcula el $\pi_n (X)$ en tiempo polinomial en el tamaño de $X$. Sin embargo, en este polinomio resultado $n$ es tomado como parte de la entrada. El resultado he dicho anteriormente es que si varían $n$, entonces la complejidad del problema explota. Me parece que este punto de vista particularmente bueno porque le da algún sentido concreto de lo complicada que es la computación de alto homotopy grupos (incluyendo el homotopy grupos de esferas). Por otro lado, se puede señalar que muchos de los resultados se han obtenido a pesar de la complejidad, pero la sofisticación de las herramientas necesarias para obtener los resultados es otro ejemplo de esta complejidad.
Espero que sea útil.
Otro tipo de respuesta implica la EHP secuencia. Si $\pi_n^k=\pi_n(S^k)/\text{odd torsion}$, entonces no son exactas secuencias $$ \pi_{n+2}^{2k+1}\xrightarrow{P}\pi_n^k \xrightarrow{E} \pi_{n+1}^{k+1} \xrightarrow{H} \pi_{n+1}^{2k+1} \xrightarrow{P} \pi_{n-1}^k. $$ (Estos son homomorphisms de abelian los grupos, excepto que cuando se $n=k=0$ el mapa de $H$ es el auto-mapa de $\pi_1^1=\mathbb{Z}$ dado por $m\mapsto m(m-1)/2$.) También tenemos las "condiciones de contorno" que $\pi_n^k=0$ para $n<k$ o de $n>1$ al $k=1$, y el hecho de que $HPE^2$ es la multiplicación por $2$ en el grupo $\pi_{4n-1}^{4n-1}=\mathbb{Z}$. Esto proporciona un lugar intrincado patrón de conexiones entre todos los grupos. Usted puede tratar de escribir un sistema de grupos y homomorphisms cumplan estas condiciones, sin tener que preocuparse de si son realmente el mismo que el real homotopy grupos de esferas, y usted encontrará que rápidamente se vuelve muy complicado.
Hay dos soluciones parciales, que puede ser escrito de forma explícita. Los grupos de $\mathbb{Q}\otimes\pi^n_k$ se sabe: no es una copia de $\mathbb{Q}$ para $(n,k)=(i,i)$ o $(4i-1,2i)$, y todo lo demás es igual a cero. Es fácil escribir los mapas $E$, $H$ y $P$, en este contexto, y para comprobar que todo es exacto. Hay una versión de la $\Lambda$ álgebra que es una operación relativamente sencilla estructura con propiedades similares a los especificados anteriormente, pero ha $P=0$ y cada grupo $\Lambda_n^k$ es infinitamente generadas $\mathbb{Z}/2$-módulo. (El $\Lambda$-álgebra también tiene un diferencial, y puede ser considerado como el $E_1$ página de un inestable Adams espectral sucesión convergente a $\pi_*^*$.)
No sé qué hacer directos en la construcción de un sistema de finitely generado abelian grupos y homomorphisms con las propiedades necesarias, y no creo que nadie más lo hace cualquiera. Mi conjetura es que cualquier sistema de este tipo es de complejidad similar a la homotopy grupos de esferas.
Aquí hay otro dato interesante que arroja algo de luz sobre este círculo de ideas. Supongamos que tenemos sistemas de $A_*^*$ e $B_*^*$ como en el anterior, y una de morfismos $f\colon A\to B$ que es compatible con $E$, $H$ y $P$, de tal manera que $f\colon A_1^1\to B_1^1$ es un isomorfismo. Entonces, uno puede mostrar que $f$ es un isomorfismo en todos los bidegrees. Este es otro ejemplo de cómo bien todo lo que está vinculado entre sí por el EHP secuencia.
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