Esta prueba se basa principalmente en algunas de las sugerencias en la primera versión de esta respuesta. Además, estamos construyendo aquí en el comentario de Peter Mueller sobre el polinomio $a$ se define a continuación. Resulta que técnicas similares pueden ser utilizados para todos los demás no trivial de polinomios derivadas de la prueba, la cual nos permite reemplazar a los múltiples usos de Mathematica comando Reducir[] en la última versión de esta respuesta mostrando que los coeficientes de la mencionada relevantes polinomios son todos no negativos. Yo todavía mantienen un cierto uso de Reducir [] - pero sólo para rápidamente hacer la rutina de verificación para $n\le11$.
Tenga en cuenta que
\begin{equation}
G:=
F_n''(x) x^{2-2 n} \left(x^{2 n}+1\right)^2 \left(x^{4 n}+x\right)^2 \left(x^{2 n+1}-1\right)^2
\left(x^{2 n+1}+1\right)^2 \left(x^{2 n+2}-1\right)^2
\end{equation}
es un polinomio en $n$, $x$, y $y:=x^{2n}$, de grado $2$ en $n$:
\begin{equation}
G=a+bn+cn^2,
\end{equation}
donde $a,b,c$ son ciertos polinomios en $x,y$.
La verificación de $G\ge0$ para $n=2,\dots,11$ es sencillo. Así, supongamos $n\ge12$, de donde $0<y<x^{24}<x^{12}$.
Además, siempre se asume que $0<x<1$, $0<y<x^{24}$ ,
\begin{equation}
n=\frac{\ln y}{2\ln x}; \tag{1}
\end{equation}
esta última relación es simplemente otra forma de la igualdad de $y=x^{2n}$.
Tenga en cuenta que
$0<y<1\ \&\ 0<x<1$ implica $x=1/(1+u)\ \&\ y=1/(1+v)$ para algunos $u,v\ge0$.
Como sugiere Peter Mueller, resulta que
\begin{equation}
a\; (1 + u)^{10} (1 + v)^{11}|_{x=1/(1 + u), y=1/(1 + v)}
\end{equation}
es un polinomio en $u,v$ con todos los coeficientes no negativos.
Los detalles de todos los cálculos se puede ver en el cuaderno de Mathematica
y su imagen pdf
Así,
\begin{equation}
a\ge0
\end{equation}
para todos los $x,y$ en $(0,1)$.
Siguiente, introducir
\begin{equation}
x_* := \frac{869}{1000},\quad
x_0:=\frac{7655}{10000},\quad y_0:= x_0^{24}\approx0.00164,\quad
x_1 := \frac{985}{1000},\quad y_1:= x_1^{24}\approx0.696.
\end{equation}
Los siguientes casos/subcases/subsubcases son exhaustivos:
Caso 1: $y\le y_1$. A continuación, la condición de $0<y\le y_1\ \&\ 0<x<1\ \&\ 0<y<x^{24}$ implica $x=x_1/(1+u)\ \&\ y=x^{24}/(1+v)$ o $x=x_1+(1-x_1)/(1+u)\ \&\ y=y_1/(1+v)$ para algunos $u\ge0$ e $v\ge0$, dependiendo de si $x<x_1$ o $x\ge x_1$.
Resulta que
\begin{equation}
c\; (1 + u)^{248} (1 + v)^{10}|_{x=x_1/(1+u)\ \&\ y=x^{24}/(1+v)}
\end{equation}
y
\begin{equation}
c\; (1 + u)^{10} (1 + v)^{10}|_{x=x_1+(1-x_1)/(1+u)\ \&\ y=y_1/(1+v)}
\end{equation}
son cada uno de un polinomio en $u,v$ con todos los coeficientes no negativos.
Así,
\begin{equation}
c\ge0 \quad\text{in Case 1}.
\end{equation}
Así, para el derivado $G'_n$ de % de $G$ en $n$, tenemos
\begin{equation}\tag{2}
G'_n=b+2cn\ge b+24c=(G'_n)|_{n=12}.
\end{equation}
Ahora tenemos que distinguir dos subcases del Caso 1, con más subsubcases de Subcase 1.1:
Subcase 1.1: $y\le y_1$ e ($y\ge y_0$ o $x\le x_*$).
Subsubcase 1.1.1: $y\le y_1$ e $y\ge y_0$ e $x\ge x_1$. A continuación, $y\le y_1\ \&\ y\ge y_0\ \&\ x\ge x_1 \ \&\ 0<x<1\ \&\ 0<y<x^{24}$ implica
$$x=x_{111}:=x_1+(1-x_1)/(1+u)\ \&\ y=y_{111}:=y_0+(y_1-y_0)/(1+v)$$
para algunos $u\ge0$ e $v\ge0$.
Resulta que
\begin{equation}
(G'_n)|_{n=12}\; (1 + u)^{10} (1 + v)^{11}|_{x=x_{111}, y=y_{111}}
\end{equation}
y
\begin{equation}
G|_{n=12}\; (1 + u)^{10} (1 + v)^{11}|_{x=x_{111}, y=y_{111}}
\end{equation}
son cada uno, de nuevo, un polinomio en $u,v$ con todos los coeficientes no negativos.
Subsubcase 1.1.2: $y\le y_1$ e $y\ge y_0$ e $x<x_1$. A continuación, $x=x_{112}:=x_0+(x_1-x_0)/(1+u)\ \&\ y=y_{112}:=y_0+(x^{24}-y_0)/(1+v)$ para algunos $u\ge0$ e $v\ge0$.
Resulta que
\begin{equation}
(G'_n)|_{n=12}\; (1 + u)^{272} (1 + v)^{11}|_{x=x_{112}, y=y_{112}}
\end{equation}
y
\begin{equation}
G|_{n=12}\; (1 + u)^{272} (1 + v)^{11}|_{x=x_{112},y=y_{112}}
\end{equation}
son cada uno, de nuevo, un polinomio en $u,v$ con todos los coeficientes no negativos.
Subsubcase 1.1.3: $y\le y_1$ e $x\le x_*$. A continuación, $x=x_{113}:=x_*/(1+u)\ \&\ y=y_{113}:=x^{24}/(1+v)$ para algunos $u\ge0$ e $v\ge0$.
Resulta que
\begin{equation}
(G'_n)|_{n=12}\; (1 + u)^{272} (1 + v)^{11}|_{x=x_{113},y=y_{113}}
\end{equation}
y
\begin{equation}
G|_{n=12}\; (1 + u)^{272} (1 + v)^{11}|_{x=x_{113},y=y_{113}}
\end{equation}
son cada uno, de nuevo, un polinomio en $u,v$ con todos los coeficientes no negativos.
Por eso, $G|_{n=12}\ge0$ e $(G'_n)|_{n=12}\ge0$ en los tres subsubcases de Subcase 1.1. En vista de $(2)$, tenemos
$G\ge0$ en Subcase 1.1.
Subcase 1.2: $y\le y_1$ e $y<y_0$ e $x>x_*$. Luego, por supuesto, la condición de $y\le y_1$ es redundante. Dejamos aquí
\begin{equation}
\rho(x):=\frac7{2(1-x)}.
\end{equation}
La condición
$x_*<x<1\ \&\ 0<y<y_0$ implica $x=x_{12}:=x_*+(1-x_*)/(1+u)$ e $y=y_{12}:=y_0/(1+v)$ para algunos $u\ge0$ e $v\ge0$.
Resulta que
\begin{equation}
(G'_n)|_{n=\rho(x)/2}\; u\,(1 + u)^{10} (1 + v)^{11}|_{x=x_{12},y=y_{12}}
\end{equation}
y
\begin{equation}
G|_{n=\rho(x)/2}\; u^2\,(1 + u)^{10} (1 + v)^{11}|_{x=x_{12},y=y_{12}}
\end{equation}
son cada uno, de nuevo, un polinomio en $u,v$ con todos los coeficientes no negativos.
Así, de manera similar a Subcase 1.1, para todos los $n\ge\rho(x)/2$ obtenemos $G\ge G|_{n=\rho(x)/2}\ge0$.
En Subcase 1.2, queda señalar que para nuestro particular $n$, como en $(1)$, que en realidad ha $n\ge\rho(x)/2$. Esto se deduce porque para $y<y_0$ e $x>x_*$
\begin{equation}
\ln\frac1y>\ln\frac1{y_0}>1.08\frac7{2(1-x_*)}\,\ln\frac1{x_*}
>\frac7{2(1-x)}\,\ln\frac1{x}=\rho(x)\ln\frac1{x}.
\end{equation}
Por eso, $G\ge0$ en Subcase 1.2 así.
Queda por considerar
Caso 2: $y>y_1$. A continuación, la condición de $y>y_1\ \&\ 0<x<1\ \&\ 0<y<x^{24}[<x^{12}]$ implica $x=x_2:=x_1+(1-x_1)/(1+u),y=y_2:=y_1+(x^{12}-y_1)/(1+v)$ para algunos $u\ge0$ e $v\ge0$.
Resulta que
\begin{equation}
b\;(1 + u)^{140} (1 + v)^{11}|_{x=x_{2},y=y_{2}}
\end{equation}
también es un polinomio en $u,v$ con todos los coeficientes no negativos.
Por lo tanto, $b\ge0$ en el Caso 2.
Por lo tanto, si $c\ge0$, entonces trivialmente $G\ge0$ (desde $a\ge0$ siempre). Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, $c<0$ y, por tanto, $G$ es cóncava en $n$. Así, es suficiente para soporte de la $n$ como en el $(1)$ entre algunas de las sencillas expresiones racionales $n_1$ e $n_2$ tal que $G|_{n=n_1}\ge0$ e $G|_{n=n_2}\ge0$.
En el Caso 2, $y$ es "cercano" a $1$ y, por lo tanto, en vista de la desigualdad de $y<x^{24}$, por lo que es $x$: $x>y_1^{1/12}=x_1=0.985$. Así que, es un poco más cómodo aquí para cambiar las variables de $x, y$ a "pequeñas variables" $u:=1-x$ e $v:=1-y$.
A continuación, $0<v<1-y_1\approx0.304$ e $1-u=x>y^{1/24}=(1-v)^{1/24}>1-v/3$, de donde $u<v/3$. Vamos ahora a $t:=u/v$, por lo que el $0<t<1/3$.
Ello se desprende que, en el Caso 2, que $t=(1/3)/(1+r)$ e $v=(1-y_1)/(1+s)$ para algunos $r\ge0$ e $s\ge0$.
Los mencionados soportes de $n_1$ e $n_2$ son, respectivamente, $\ell_1/2$ e $\ell_2/2$, donde
\begin{equation}
\ell_1:=\frac1t,\quad\ell_2:=\frac{(2 - v) (1 - t v)}{t (1 - v) (2 - t v)}.
\end{equation}
No es difícil ver (más detalles sobre esto en el mismo cuaderno de Mathematica), que, de hecho,$n_1 < n < n_2$.
Queda por demostrar que $G|_{n=n_1}\ge0$ e $G|_{n=n_2}\ge0$.
Resulta que
\begin{equation}
(G'_n)|_{n=\ell_1/2;\,x=1-tv,\,y=1-v;\,t=(1/3)/(1+r),\,v=(1-y_1)/(1+s)}\; (1 + r)^{10} (1 + s)^{19}
\end{equation}
y
\begin{equation}
(G'_n)|_{n=\ell_2/2;\,x=1-tv,\,y=1-v;\,t=(1/3)/(1+r),\,v=(1-y_1)/(1+s)}\; (1 + r)^{10} (1 + s)^{19}\; q
\end{equation}
son cada uno de un polinomio en $r,s$ con todos los coeficientes no negativos,
donde
\begin{multline*}
q:=
(1 + r)^{10} (1 + s)^{19} \\
\times(11673186598630578538556565100133681446610566511878526881 \\
+
16777216000000000000000000000000000000000000000000000000 s)^2 \\
\times\big(31853088866210192846185521700044560482203522170626175627 \\
+
33554432000000000000000000000000000000000000000000000000 (r + s +
r s)\big)^2.
\end{multline*}
La prueba está completa.
