Un buen texto de ecuaciones diferenciales para estudiantes de grado que quieran convertirse en matemáticos puros

Question

De acuerdo, he tardado un tiempo en empaparme de todas las matemáticas avanzadas posibles como estudiante de grado, tomando cursos de álgebra, topología, análisis complejo (una versión de grado menos rigurosa del curso de posgrado habitual en mi universidad), análisis, teoría de modelos y teoría de números. Es decir, tomé suficientes cursos de matemáticas "abstractas" (basadas en pruebas) para enamorarme de la materia y decidir seguirla como carrera.

Sin embargo, he estado posponiendo la realización de un curso obligatorio de ecuaciones diferenciales ordinarias (denominado coloquialmente "calc 4", aunque parece inapropiado) que probablemente será muy computacional y estará diseñado para atender a la superpoblación de estudiantes de ingeniería en mi universidad.

Así que mi pregunta es, para alguien que podría tener que preocuparse realmente por la teoría detrás de las "reglas" y los teoremas que probablemente no serán probados en este curso de bajo nivel (probablemente de contenido matemático cuestionable), ¿cuál podría ser un texto complementario decente en ODE? Es decir, algo sustancioso para contrarrestar el texto del tipo "ODE para estudiantes de ciencias e ingeniería" que tendré que leer. Quiero seguir estudiando la geometría algebraica (ya he leído el texto de Karen Smith y la primera parte de Hartshorne), así que estaría bien algo que pasara del material básico a las formas diferenciales y el material relacionado.

Gracias. (y sí, es vergonzoso que aún no haya tomado el curso de ODE de nivel 200, pero lo he estado posponiendo en favor de cursos más interesantes/rigurosos... pero ahora está todo ese asunto de los requisitos de graduación). -Lambdafunctor

Answer 1

1. Las ODEs de Arnol'd.

2. Hirsch y Smale. Como segunda mejor la `versión ampliada' de éste con Devaney añadido como coautor.

Answer 2

Estás de suerte, Lambda, ya que en los últimos años se han publicado unos cuantos textos excelentes de EDO avanzadas, además de los tratados estándar. Primero, los textos más estándar. Si quieres un curso teórico sólido sobre las EDO, tienes que decidir realmente cómo de sólido lo quieres. Una presentación teórica completa requiere análisis funcional y variables reales graduadas. No creo que quieras nada que avanzado, al menos no todavía. Así que voy a recomendar algunos de los mejores textos de nivel "intermedio", que son los más agradables de leer.

Mi favorito es el hermoso texto geométrico Ecuaciones diferenciales ordinarias de Vladimir Arnold, en su tercera (y tristemente última) edición. No sólo contiene una exposición rigurosa de las EDO y los sistemas dinámicos en las variedades, sino que también contiene una gran cantidad de aplicaciones a la física, principalmente a la mecánica clásica. Se necesita una sólida formación en cálculo teórico y álgebra lineal para leerlo. Merece la pena.

Un libro que me resultó inmensamente útil para aprender este material fue el de Lawrence Perko Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos . No sólo cubre más que el libro de Arnold, en particular sobre los sistemas dinámicos y las EDO no lineales, sino que tiene una gran cantidad de excelentes ejercicios y diagramas de curvas integrales en una multitud de espacios de solución/sistemas dinámicos, tan importantes cuando se aprende el tema.

El viejo clásico de Smale y Hirsch, Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal se equilibra mejor con la segunda edición en coautoría con Robert Devaney, Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos e introducción al caos . La segunda edición es más aplicada y menos rigurosa desde el punto de vista matemático, pero contiene mucha más información sobre las EDO no lineales y los sistemas dinámicos caóticos. También tiene muchas más imágenes que son bastante útiles en este tema: la gran complejidad de los sistemas no lineales hace que aprenderlos de forma no geométrica sea realmente sorprendente. Aconsejaría encarecidamente conseguir AMBOS libros (la primera edición es muy cara; recomendaría pedirla prestada) y utilizar su unión. Su unión puede ser el mejor libro de texto que existe actualmente sobre el tema.

Por último, está la obra de James D. Miess Sistemas dinámicos diferenciales que no sólo contiene una presentación ligeramente más avanzada del mismo material que Arnold y Perko, sino que contiene muchas más aplicaciones e implementaciones de programación informática, principalmente a la química y la mecánica clásica.

Todos estos libros son excepcionales y creo que entre ellos encontrarás lo que buscas.

Answer 3

Si no le importa considerar una recomendación de uno de los coautores de un libro de texto de EDO, parece el tipo de estudiante que teníamos en mente cuando escribimos "Ecuaciones diferenciales, mecánica y cálculo". Hay un sitio web complementario para nuestro texto en " http://vmm.math.uci.edu/ODEandCM/ donde podrá encontrar archivos pdf descargables gratuitamente de más de la mitad del libro, incluida la sección introductoria completa, a partir de la cual podrá juzgar si desea utilizarlo como su introducción a las EDO. Una de las principales consideraciones a la hora de escribir el libro fue que fuera "fácil" de leer para un estudiante dedicado que busca una introducción conceptual al tema. El libro fue publicado por The American Mathematical Society en diciembre de 2009, y fue reseñado por la Mathematical Assoc. of America aquí: http://www.maa.org/maa_reviews/0211102.html Buena suerte con el aprendizaje de un tema verdaderamente hermoso, y espero que nuestro libro le ayude. Richard Palais

Answer 4

2 años después, entiendo que esta respuesta puede no serte útil, lamdbafunctor, pero para todos los demás estudiantes de grado que vienen aquí y verán esto, creo que "Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems" de Boyce y DiPrima es exactamente lo que estás buscando. La secuencia inicial de 4 capítulos que sigue este libro (lineal y no lineal de primer orden -> lineal y no lineal de segundo orden -> lineal y no lineal de orden superior) te permite ver los fundamentos básicos que se extienden a casos cada vez más generales y con explicaciones muy concisas pero completas y significativas a lo largo de todo el camino, fue un placer leerlo. Por lo que he visto, es casi como si el libro estuviera escrito explícitamente para el autoaprendizaje, ya que hay muy pocos detalles asumidos. Muchos ingenieros consideran que la desventaja de este libro es la falta casi total de ejemplos de modelado en el mundo real, y mi respuesta a ellos es que el propósito de Boyce/DiPrima es obtener una base firme en la teoría, mientras que el propósito de otros libros como Edwards/Penney es obtener una base firme en las aplicaciones físicas/del mundo real. Actualmente estoy terminando mi primer semestre en Honors Diff Eq de segundo año, y se lo debo casi por completo a este libro.

Por si sirve de algo, Sal Khan, de KhanAcademy, mencionó que este fue el libro que le enseñaron cuando aprendió las ecuaciones diferenciales en el MIT, y su selección de vídeos complementa perfectamente este libro: http://www.khanacademy.org/math/differential-equations

Answer 5

Sólo quiero contribuir con otro libro que no ha sido mencionado hasta ahora: Philip Hartman 's Ecuaciones diferenciales ordinarias . Me da un poco de vergüenza decir que todavía no lo he leído todo, pero es el que está en mi estantería al que recurro si necesito buscar algo sobre las ODE.

Por lo que sé, es algo similar en profundidad al libro de Hale: es decir, cubre algunos de los mismos temas que Dan Blazevski enumeró a continuación.