Un fortalecimiento de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Question

Supongamos $\mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$ (y si ayuda, usted puede asumir cada uno de ellos tiene un valor no negativo de las entradas), y deje $\mathbf{v}^2,\mathbf{w}^2$ denotan los vectores cuyas entradas son los cuadrados de las entradas de $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$.

Mi pregunta es cómo probar que \begin{align*} \|\mathbf{v}^2\|\|\mathbf{w}^2\| - \langle \mathbf{v}^2,\mathbf{w}^2\rangle \leq \|\mathbf{v}\|^2\|\mathbf{w}\|^2 - \langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle^2. \end{align*}

Algunas notas son, en orden:

• El Cauchy-Schwarz desigualdad nos dice que ambos lados de esta desigualdad son no negativos. Por lo tanto la propuesta de la desigualdad es un fortalecimiento de Cauchy-Schwarz que le da un valor distinto de cero atado en el RHS.
• Sé que esta desigualdad es verdadera, pero mi método de la prueba es muy larga y rotonda. Parece que debería haber un sencillo-ish prueba, o debe seguir a partir de otro conocido de la desigualdad, y eso es lo que estoy buscando.

Answer 1

Aquí es una prueba para cada $n$. Usando la notación $\mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n)$ e $\mathbf{w}=(w_1,\dots,w_n)$, la desigualdad lee $$\left(\sum_i v_i^4\right)^{1/2}\left(\sum_i w_i^4\right)^{1/2}-\sum_i v_i^2 w_i^2\leq \left(\sum_i v_i^2\right)\left(\sum_i w_i^2\right)-\left(\sum_i v_i w_i\right)^2.$$ La reescritura de la mano derecha en una forma familiar, y, a continuación, la reorganización y el cuadrado, obtenemos la forma equivalente $$\left(\sum_i v_i^4\right)\left(\sum_i w_i^4\right)\leq\left(\sum_i v_i^2 w_i^2+\sum_{i<j}(v_iw_j-v_j w_i)^2\right)^2.$$ La reescritura de la mano izquierda en una forma familiar, obtenemos la forma equivalente $$\left(\sum_i v_i^2w_i^2\right)^2+\sum_{i<j}(v_i^2w_j^2-v_j^2w_i^2)^2\leq\left(\sum_i v_i^2 w_i^2+\sum_{i<j}(v_iw_j-v_j w_i)^2\right)^2.$$ Equivalentemente, $$\sum_{i<j}(v_i^2w_j^2-v_j^2w_i^2)^2\leq 2\left(\sum_k v_k^2w_k^2\right)\sum_{i<j}(v_iw_j-v_j w_i)^2+\left(\sum_{i<j}(v_iw_j-v_j w_i)^2\right)^2.$$ Sea claro en un momento ¿por qué hemos cambiado el nombre de la variable $i$ a $k$ en la primera suma en el lado derecho. Es decir, pretendemos que el siguiente más fuerte desigualdad se cumple: $$\sum_{i<j}(v_i^2w_j^2-v_j^2w_i^2)^2\leq 2\sum_{i<j}(v_i^2w_i^2+v_j^2w_j^2)(v_iw_j-v_j w_i)^2+\sum_{i<j}(v_iw_j-v_j w_i)^4.$$ De hecho, esta desigualdad puede reordenarse $$0\leq 2\sum_{i<j}(v_iw_i-v_jw_j)^2(v_iw_j-v_jw_i)^2,$$ y hemos terminado.

Answer 2

En el caso$n=2$ esto se desprende de la identidad a continuación, que expresa la diferencia

PS

como producto de dos cuadrados

$$ \ bigl ((v_1 ^ 2 + v_2 ^ 2) (w_1 ^ 2 + w_2 ^ 2) - (v_1w_1 + v_2w_2) ^ 2 + (v_1 ^ 2w_1 ^ 2 + v_2 ^ 2w_2 ^ 2) ^ 2 \ bigr) ^ 2 - (v_1 ^ 4 + v_2 ^ 4) (w_1 ^ 4 + w_2 ^ 4) = 2 (v_1w_2-v_2w_1) ^ 2 (v_1w_1-v_2w_2) ^ 2. $$

Para la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el argumento análogo se generaliza a cualquier dimensión. Sin embargo, no he podido extender este argumento incluso a$$\bigl(||\mathbf{v}||^2 ||\mathbf{w}||^2 - \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle^2 + \langle \mathbf{v}^2,\mathbf{w}^2\rangle\bigr)^2 - \bigl(||\mathbf{v}^2|| || \mathbf{w}^2|| \bigr)^2$.