La cuestión parece estar hecha de varias preguntas más pequeños, así que me temo que mi respuesta no parece del todo coherente.
Estoy de acuerdo con los otros carteles que dicen que la esporádica simple grupos no son realmente tan grande. Por ejemplo, nosotros los humanos podemos escribir la plena decimal ampliaciones de sus pedidos, en donde a priori uno podría pensar que tendríamos que recurrir a crudo límites superior utilizando altamente funciones recursivas. (En contraste, se podría decir que casi de los grupos en el infinito de las familias son demasiado grandes para sus pedidos para tener una computable descripción que encaja en el universo.) Además, a partir de 2002, se puede cargar la matriz de representantes de elementos en un ordenador, incluso para el monstruo. Noah señaló que el monstruo tiene un orden menor que $A_{50}$, pero creo que más apt comparación es que el monstruo tiene un orden más pequeña que incluso el miembro más pequeño de la infinita $E_8$ familia. Por supuesto, uno podría preguntar por qué $E_8$ tiene dimensión tan grande como 248...
No fue una más explícita la pregunta: ¿cómo es posible que un grupo con tantos como $8 \times 10^{ 53 }$ elementos no tiene subgrupos normales? Creo que la respuesta es que el orden de magnitud de un grupo dice muy poco acerca de su complejidad. Hay números primos muy cercanos a la orden del monstruo, y no son simples grupos cíclicos de los pedidos, así que usted podría preguntarse por qué ese hecho no parece conceptualmente inquietante. Quizás un poco más difícil es el hecho de que no hay elementos de orden mayor que el 119, pero de nuevo, no hay trabajo en el limitado y restringido de Burnside problemas que demuestra que puede tener grupos de muy pequeño exponente que son extremadamente complicados.
Un segundo punto sobre el gran límite inferior en fin, es que hay pequeños grupos que podrían ser llamados esporádicos, en el sentido de que encajan en razonablemente natural (finito) de combinatoria familias, junto con la sporadics, pero no son designados como esporádica debido a que los pequeños de orden isomorphisms en el camino. Por ejemplo, la Mathieu grupo $M_{10}$ es el grupo de simetría de un cierto Steiner sistema, como el simple Mathieu grupos, y es un índice 11 subgrupo de $M_{11}$. Si bien no es simple, contiene $A_6$ como índice 2 subgrupo, y nadie llama a $A_6$ esporádicos. Del mismo modo, se describe el 20 de "familia feliz" esporádicos subquotients del monstruo, pero nos olvidamos de la subquotients como $A_5$, $L_2(11)$, y así sucesivamente. Puesto que el orden de un nonabelian simple grupo está delimitado por debajo de 60, no hay mucho margen de maniobra antes de llegar a 7920, una.k.a. "enorme" de la gama.
A la pregunta sobre el por qué el 2-subgrupo de Sylow tiene un cierto tamaño es bastante sutil, y creo que es una buena explicación requeriría profundizar en la estructura de la clasificación teorema. Una respuesta corta es que centralizadores de la orden de 2 elementos jugado un papel fundamental en la clasificación después de la Extraña Orden Teorema, y hubo una separación en los casos, por las características estructurales de centralizadores. Uno de los casos se trataba de un centralizador, que llegó a tener la forma $2^{1 + 24} . Co1$, que tiene un 2-subgrupo de Sylow de orden $2^{46}$ (y, naturalmente, actúa en una doble cubierta de la Sanguijuela de celosía). Este es el caso que corresponde al monstruo.
Con respecto a la factorización en primos de la orden del monstruo, los números primos que aparecen son exactamente los supersingular de los números primos, y este cae en el reino general de "monstruoso luz de la luna". Me escribió una descripción más detallada del fenómeno en respuesta a Ilya pregunta, pero la pregunta general de una explicación conceptual está todavía abierto.
Voy a mencionar algunos de folclore de la organización de la sporadics. Parece ser que hay una jerarquía dada por
- nivel 0: subquotients de $M_{24}$ = simetrías del código de Golay
- nivel 1: subquotients de $Co1$ = simetrías de la Sanguijuela de celosía, mod $\{ \pm 1 \}$
- nivel 2: subquotients del monstruo = conformal simetrías del monstruo vértice álgebra
donde los grupos en cada nivel de forma natural de actuar sobre (objetos similares a) la excepcional objeto de la derecha. No sé qué explicativa del significado de la secuencia [códigos, celosías, vértice álgebras] tiene, pero hay un cierto nivel de recaudación de las construcciones que la carne fuera de la analogía un poco. Una interesante consecuencia de la existencia de nivel 2 es que para algunos grupos finitos, la mayoría de los naturales (léase: más fáciles de construir representaciones son infinitas dimensiones, y uno puede argumentar razonablemente el uso de celosía vértice álgebras de que esto tiene para algunos excepcional de las familias. John Duncan tiene algún trabajo reciente construcción estructurada vértice superalgebras cuya automorphism grupos son esporádicos simple grupos de fuera de la familia feliz.
Creo que una pregunta interesante que no ha sido sugerido por otras respuestas (y puede ser demasiado abiertas para el MO) es por eso que el monstruo no tiene pequeñas representaciones. No hay fieles de permutación de las representaciones de grado menor que $9 \times 10^{ 19 }$ y no son fieles representaciones lineales de dimensión menor que 196882. Compare esto con los casos de los mucho más grandes grupos de $A_{50}$ e $E_8(\mathbb{F}_2)$, donde tenemos representaciones lineales de dimensión 49 y 248. Este es un sentido diferente de hugeness que en la pregunta original, pero que impacta fuertemente la viabilidad computacional de atacar a muchas preguntas.
