¿Cómo se utiliza la teoría de la representación en las formas modulares/automórficas?

Question

Ciertamente, hay una gran cantidad de libros avanzados sobre representaciones de Galois y formas automórficas. Lo que me pregunto es más sencillo: ¿Cuál es la conexión básica entre las formas modulares y la teoría de la representación?

Tengo una formación básica en la teoría analítica compleja de las formas modulares (sus fórmulas de dimensión, cómo clasifican las clases de isomorfismo de las curvas elípticas, algunos ejemplos básicos de formas modulares de nivel N y su relación con los puntos de torsión en las curvas elípticas, las expansiones en serie, las funciones theta, los operadores de Hecke). Todo ello con una formación de grado en análisis complejo y álgebra (teoría de Galois). También conozco un poco los fundamentos de la teoría algebraica de los números y de la geometría algebraica, si eso ayuda. Y lo que es más importante, tengo conocimientos básicos de la teoría de la representación de grupos finitos. Mi pregunta es, entonces, ¿podría ejemplificar cómo se relacionan las formas modulares y/o las funciones theta con las representaciones de grupos?

Pregunto esto en parte porque imagino que un número de estudiantes con una formación similar a la mía habrán aprendido sobre las formas modulares y, por lo tanto, podrían estar interesados en entender cómo se relacionan con la teoría de la representación, a pesar de no tener una amplia formación en resultados más avanzados en geometría algebraica y álgebra conmutativa necesarios para el estudio avanzado en el campo.

He aquí algunas ideas que podrían dar fruto: en la teoría analítica de los números, a menudo se ven sumas sobre caracteres, pero los caracteres también son muy relevantes en la teoría de la representación. En particular, las sumas de Jacobi aparecen tanto en la teoría de los números como en la teoría de la representación (y las formas cuadráticas se relacionan entonces con las funciones theta). ¿Existe alguna relación?

Además, los operadores de Hecke son sumas simétricas sobre elementos de grupos, lo que sugiere una fuerte conexión con la teoría de la representación.

¿O es la conexión con las representaciones de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ ? Los cocientes de este grupo aparecen como grupos de Galois de extensiones de espacios de formas modulares, por lo que podrían recibir representaciones actuando sobre estos espacios?

El objetivo de la lista de ideas es mostrar el tipo de intuición que podría estar buscando. Una de mis ideas podría ser fructífera, o todas ellas podrían no tener nada que ver con la razón por la que la teoría de la representación se conecta a las funciones modulares. La cuestión es que estoy buscando ideas básicas que alguien con una formación elemental pueda entender.

También he añadido "solicitud de referencia" porque imagino que puede haber un texto que esté a mi nivel y discuta estas ideas.

EDIT: La respuesta de paul garett aquí realmente da una buena historia de cómo las formas modulares llegaron a ser visto en términos de la teoría de las representaciones: ¿Cuál es la diferencia entre una forma automórfica y una forma modular?

Answer 1

Advertencia: para dar una visión de conjunto, he sido vago/descuidado en varios lugares.

Bueno, el vínculo básico con la teoría de la representación es que las formas modulares (y las formas automórficas) pueden verse como funciones en espacios de representación de grupos reductores. Lo que quiero decir es lo siguiente: tomemos por ejemplo una forma modular, es decir, una función $f$ en el plano medio superior que satisface ciertas condiciones. Como el medio plano superior es un cociente de $G=\mathrm{GL}(2,\mathbf{R})$ , puedes tirar de $f$ a una función en $G$ (técnicamente se masajea un poco, pero esta es la idea principal) que será invariante bajo un subgrupo discreto $\Gamma$ . Las funciones con este aspecto se denominan formas automórficas en $G$ . El espacio de todas las formas automórficas sobre $G$ es una representación de $G$ (a través de la representación regular correcta, es decir $(gf)(x)=f(xg)$ ). Básicamente, cualquier subrepresentación irreducible del espacio de formas automórficas es lo que se llama una representación automórfica de $G$ . Así, las formas modulares pueden verse como ciertos vectores en ciertas representaciones (generalmente de dimensión infinita) de $G$ . En este contexto, se puede definir el álgebra de Hecke de $G$ como el valor complejo $C^\infty$ funciones en $G$ con soporte compacto visto como un anillo bajo convolución. Se trata de un sustituto del anillo de grupo que se da en la teoría de la representación de grupos finitos, es decir, las representaciones de grupo (posiblemente de dimensión infinita) de $G$ debe corresponder a las representaciones algebraicas (posiblemente de dimensión infinita) de su álgebra de Hecke. Este tipo de cosas es la conexión básica de las formas modulares con la teoría de la representación y se remonta al menos a la teoría de Gelfand-Graev-Piatestkii-Shapiro Teoría de la representación y funciones automórficas . Puede sustituir $G$ con un grupo reductor general.

Para llegar a cosas más avanzadas, hay que empezar a ver las formas modulares no sólo como funciones en $\mathrm{GL}(2,\mathbf{R})$ sino en $\mathrm{GL}(2,\mathbf{A})$ , donde $\mathbf{A}$ son los adelantos de $\mathbf{Q}$ . Se trata de un "producto directo restringido" de $\mathrm{GL}(2,\mathbf{R})$ y $\mathrm{GL}(2,\mathbf{Q}_p)$ para todos los primos $p$ . De nuevo se puede definir un álgebra de Hecke. Se descompondrá en un "producto tensorial restringido" de las álgebras de Hecke locales como $H=\otimes_v^\prime H_v$ donde $v$ recorre todos los primos $p$ y $\infty$ ( $\infty$ es el primo infinito y corresponde a $\mathbf{R}$ ). Para un primo $p$ , $H_p$ es el espacio de las funciones de valor complejo de soporte localmente constante sobre el espacio del doble conjunto $K\backslash\mathrm{GL}(2,\mathbf{Q}_p)/K$ donde $K$ es el subgrupo compacto máximo $\mathrm{GL}(2,\mathbf{Z}_p)$ . Si se toma algo como la función característica del doble coset $KA_pK$ donde $A_p$ es la matriz con $p$ y $1$ por la diagonal, y mira cómo actúa sobre una forma modular verás que se trata del operador de Hecke $T_p$ .

También está la conexión con la teoría de los números. Esto se engloba principalmente bajo la frase "programa de Langlands" y es una bestia significativamente más complicada que lo anterior. Al menos parte de esto comenzó con la clasificación de Langlands de la representación admisible de los grupos reductores reales. Se dio cuenta de que podía formular la parametrización de las representaciones admisibles diciendo de $\mathrm{GL}(n,\mathbf{R})$ de una manera que tuviera sentido para $\mathrm{GL}(n,\mathbf{Q}_p)$ . Esto establece una (conjetura, aunque conocida ahora por $\mathrm{GL}(n)$ ) entre representaciones admisibles de $\mathrm{GL}(n,\mathbf{Q}_p)$ y ciertos $n$ -representaciones dimensionales de un grupo que está relacionado con el grupo de Galois absoluto de $\mathbf{Q}_p$ (el grupo Weil-Deligne). Esto se llama la Correspondencia Local de Langlands. La Correspondencia Global de Langlands consiste en que un tipo de relación similar se da entre representaciones automórficas de $\mathrm{GL}(n,\mathbf{A})$ y $n$ -representaciones dimensionales de algún grupo relacionado con el grupo de Galois (el grupo conjetural de Langlands). Estas correspondencias deberían ser agradables en el sentido de que las cosas que ocurren en un lado deberían corresponder a las que ocurren en el otro. Esto encaja en otra parte del programa de Langlands que es la conjetura de funtorialidad (realmente las correspondencias son casos especiales). Básicamente, si tienes dos grupos reductores $G$ y $H$ y un cierto tipo de mapa de uno a otro, entonces debería poder transferir representaciones automórficas de uno a otro. Desde este punto de vista, el lado de la geometría algebraica entra simplemente como la fuente para demostrar instancias de las conjeturas de Langlands. Prácticamente la única manera de tomar una representación automórfica y demostrar que tiene una representación de Galois asociada es construir un objeto geométrico cuya cohomología tenga tanto una acción del álgebra de Hecke como del grupo de Galois y descomponerlo en trozos y elegir el que se desee.

En cuanto a sugerencias sobre qué leer, encontré el libro de Gelbart Formas automórficas en grupos de adela bastante legible. Esto le llevará a través de algunos de lo que he escrito en los dos primeros párrafos para el grupo $\mathrm{GL}(2)$ . La referencia más completa son las actas de Corvallis, disponibles gratuitamente en ams.org . Para entrar en el programa de Langlands está el libro una introducción al programa Langlands ( libros de google ) que podrías mirar. Realmente es un tema muy amplio y no aprendí de una o pocas fuentes. Pero espero que lo que he escrito te haya ayudado un poco. Creo que ahora tengo que ir a la cama. Buenas noches.

Answer 2

Una respuesta de una línea:
Una forma modular es un vector de mayor peso de un sumando de serie discreta de L 2 (SL ₂ (Z) \SL ₂ (R)).

Hay numerosas variantes de esto: se pueden sustituir los reales por los adeles, o SL ₂ por otro grupo, o sustituir las representaciones en serie discreta por series principales para obtener las formas de onda de Maass, etc. Esto se explica en detalle en Formas automórficas en grupos de adela por Gelbart. Una introducción al programa Langlands de Bernstein y otros también es bueno.

Answer 3

Una respuesta corta es que dada una forma modular $f$ para un subgrupo de congruencia de $SL_2(\mathbb{Z}),$ uno puede levantar $f$ a una función $F$ en el grupo de adelgazamiento $G=GL_2(\mathbb{A})$ con ciertas propiedades que genera una representación $\pi$ de $G$ bajo la acción regular de la izquierda. Varias propiedades de $f$ se traducen en propiedades de $\pi;$ A la inversa, las técnicas de teoría de la representación aplicadas a $\pi$ producir información sobre $f.$ Por ejemplo,

  $f$ es una eigenforma de Hecke $\iff \pi$ es irreducible.

En el caso de las funciones theta en $g$ variables, se pueden elevar al grupo simpléctico apropiado $Sp_{2g}(\mathbb{A})$ y se convierten en coeficientes matriciales de la representación de Weil. También aquí los resultados de la teoría de la representación pueden traducirse en información sobre las funciones theta.

Aquí hay dos libros bastante antiguos que explican y explotan la teoría de la representación detrás de la teoría de las funciones theta y las formas automórficas, sin asumir ni utilizar la geometría algebraica y el álgebra conmutativa de forma seria:

1. Gelfand, Graev, Piatetskii-Shapiro, Teoría de la representación y funciones automórficas . Generalized Functions, 6. Academic Press, 1990 (edición original publicada en ruso en 1966)

2. León, Vergne, La representación de Weil, el índice de Maslov y la serie theta . Progress in Mathematics, 6. Birkhäuser, 1980

De hecho, aunque recientemente se ha puesto de relieve el papel de las representaciones de Galois (programa de Langlands, teorema de la modularidad), se trata de una cuestión totalmente independiente y de mayor nivel en comparación con el diccionario básico entre formas modulares y representaciones automórficas. Así, la mayoría de los libros sobre formas automórficas (por ejemplo, Bump o Goldfeld) explicarán estas últimas, sin tocar necesariamente las primeras.

Answer 4

Ya que ha mencionado las representaciones de Galois, puedo hablar brevemente de la versión más sencilla de la conexión y remitirle a la obra de Diamond y Shurman excelente libro que trata de las formas modulares con vistas a esta perspectiva.

La conexión aquí es con las representaciones del grupo absoluto de Galois $G = \text{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ . Por el teorema de Kronecker-Weber, las representaciones unidimensionales (continuas y complejas) de $G$ se clasifican por caracteres de Dirichlet, por lo que es natural preguntarse por el siguiente caso más difícil, las representaciones bidimensionales. Una gran clase de ellas puede construirse como sigue. Dada una curva elíptica $E$ definido sobre $\mathbb{Q}$ los elementos de orden $n$ (designado por $E[n]$ ) forman un grupo isomorfo a $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$ y como sus coordenadas son números algebraicos, $G$ actúa sobre ellos. Esto da una representación

$$G \to \text{GL}_2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}).$$

Tal como está, esta representación causa problemas porque $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ no es un dominio integral. Así que lo que hacemos es tomar $n$ para ser todos los poderes de $\ell$ para un primo fijo $\ell$ y tomar el límite inverso sobre todas las correspondientes $E[\ell^n]$ . El resultado es un artilugio llamado Módulo Tate que es un $G$ -es isomorfo (como grupo abstracto) a $\mathbb{Z}_{\ell}^2$ y que, por tanto, define una representación

$$G \to \text{GL}_2(\mathbb{Z}_{\ell}).$$

Entonces, ¿cómo se identifica la representación correspondiente a $E$ ? La respuesta estándar es observar ciertos elementos ("clases de conjugación") de $G$ llamados elementos de Frobenius, que provienen de ascensos de morfismos de Frobenius. Aunque los elementos de Frobenius no siempre están bien definidos, resulta que la traza $a_{p,E}$ del elemento de Frobenius correspondiente a $p$ en una representación es, y así podemos identificar una representación dando los números $a_p$ para todos $p$ . (No estoy muy familiarizado con los detalles aquí, pero creo que esto funciona porque los elementos de Frobenius son densos en $G$ .) Resulta que si $p$ es una prima de buena reducción, $a_{p,E} = p + 1 - |E(\mathbb{F}_p)|$ por lo que estos números se pueden obtener de forma bastante concreta (donde $E(\mathbb{F}_p)$ es el conjunto de puntos de $E$ en $\mathbb{F}_p$ ). (Una vez más, no estoy realmente familiarizado con los detalles aquí, incluyendo lo que sucede cuando $p$ no tiene una buena reducción).

Ahora: una declaración de la teorema de la modularidad La conjetura de Taniyama-Shimura es que existe una eigenforma de cúspide $f$ de peso $2$ para $\Gamma_0(N)$ para algunos $N$ (llamado el conductor de $E$ ) tal que, siempre que $p$ es una prima de buena reducción,

$$a_{p, f} = a_{p, E}$$

donde $a_{p, f}$ es el $p^{th}$ Coeficiente de Fourier de $f$ . En otras palabras, las eigenformas de cúspide de peso $2$ "son lo mismo que" una gran clase de representaciones bidimensionales de $G$ . El programa de Langlands trata, al menos en parte, de generalizar esta afirmación a representaciones de mayor dimensión de $G$ pero aquí hay muchos teóricos de los números cualificados que pueden decirte de qué se trata.

Answer 5

Probablemente el ejemplo más notable es monstruosa luz de luna . Ver El libro de Terry Gannon .