El preprint de Yitang Zhang sobre los ceros de Landau-Siegel

Question

La reciente y sensacional noticia sobre los espacios acotados entre primos me hizo preguntarme: ¿cuál es el estado de la anterior investigación de Yitang Zhang preimpresión arXiv en los ceros de Landau-Siegel? Si este resultado es correcto, entonces (en mi opinión) es una noticia aún mayor para la teoría analítica de números. ¿Alguien ha revisado este artículo con detenimiento?

Answer 1

Esto no es una respuesta con respecto al documento, pero creo que debería ser útil. Durante una reciente entrevista (en chino), comentó:

"

* Siegel *9 "

La parte resaltada puede traducirse como:

"...ese es mi trabajo sobre los ceros de Siegel. Tengo un trabajo en línea, que está incompleto. No puedo decir que haya terminado el trabajo por ahora, pero hice un progreso notable..."

Así que el documento está inacabado, y podemos esperar hasta más adelante, cuando se publique oficialmente.

Editar:

Supongo que es público. Pero en caso de que OP u otras personas no lo sepan, ha visitado IAS y ha dado algunas conferencias en público sobre este tema. Los videos están disponibles aquí:

http://video.ias.edu/jointiasnts/2013/0926-YitangZhang

y se puede encontrar un resumen en aquí:

http://www.math.ias.edu/node/5320

Answer 2

Empecé a estudiar detenidamente el documento, pero me detuve después de tropezar con el lema 2.3. Permítanme citar un correo electrónico de enero de 2008

No puedo seguir la demostración del Lemma 2.3, que es una clave para demostrar los lemas 2.4-2.6 y, por tanto, también la proposición 2.7 y por tanto también el Teorema: Por lo que tengo entendido, el documento estima (véase la última línea de página 8) el supremo (sobre los s en Omega_1) de la suma de la izquierda a través de la estimación integral estándar por L^2 veces el supremo (sobre la w en R_1) de la suma respetada. La última es igual a la suma en una w especial en R_1 (principio máximo de las funciones continuas), pero este w es (altamente) dependiente de la psi. Por eso no entiendo entiendo cómo se puede entonces utilizar la gran criba como en página 9 arriba para estimar la suma inicial a la izquierda de 2.11, porque la gran criba sólo se aplica cuando los coeficientes son (por supuesto) independientes de psi. Por el contrario, si la forma de demostrar el lema 2.3 fuera realmente como se ha esbozado anteriormente, entonces no veo necesario recorrer el camino extra sobre la integral, pero uno podría estimar inmediatamente. Por eso creo que que se me ha escapado un punto. ... (No creo que que una variación del enunciado pueda ayudar, ya que los lemas 2.4-2.6 utilizan precisamente el enunciado completo del enunciado del lema 2.3, lo mismo que la proposición 2.7).

Yitang Zhang debería al menos proporcionar un comentario respectivo en su artículo de arxiv donde/cuán incompleto es el documento. Francamente, no ser totalmente transparente sobre el estado de este trabajo y, por lo tanto, hacer que otras personas inviertan su tiempo en él (sin saber dónde falta) es absolutamente ridículo.

Answer 3

Hubiera preferido escribir un pequeño comentario, pero por alguna razón no puedo hacerlo. He mirado brevemente el documento y parece bien escrito y legible. También es bastante largo (54 páginas). En cuanto a los comentarios anteriores sobre el segundo párrafo, creo que el párrafo es una descripción justa de la importancia del resultado. En particular, si el resultado principal es correcto, se trataría de un gran avance y de una bonita historia. Hay que tener en cuenta que el artículo se publicó por primera vez en mayo de 2007, sin actualizaciones desde entonces, y no ha sido retirado.

El resultado principal es: Para cualquier carácter primitivo real $\chi$ del módulo $D$ tenemos $L(\sigma,\chi)\ne 0$ para $\sigma > 1 \frac{c_2}{(\log D)^{19} \log\log D}$ donde $c_2>0$ es una constante efectivamente computable. Hasta donde yo sé, no hay ninguna estimación de $c_2$ que se da en el documento, pero esto parece no tener importancia ya que el autor ya afirma que, con un esfuerzo extra, es posible eliminar el poder de $\log \log D$ e incluso algunos poderes de $\log D$ .

Esta es la segunda afirmación importante en la teoría analítica de los números en un par de semanas (aunque se hizo por primera vez en 2007, pero desgraciadamente se le prestó poca atención, posiblemente porque anunciar un resultado importante de forma aislada tiende a tener un efecto contrario).