Determinante de un determinante

Question

Considere la posibilidad de una $mn \times mn$ matriz sobre un anillo conmutativo $A$, dividido en $n \times n$ bloques que se desplazan por parejas. Uno puede pretender que cada una de las $m^2$ bloques es un número y aplicar el $m \times m$ determinante de la fórmula para obtener un solo bloque, y luego tomar la $n \times n$ determinante para obtener un elemento de $A$. O uno puede tomar la gran $mn \times mn$ determinante a la vez.

Teorema (cf. Bourbaki, Álgebra III.9.4, Lema 1): Estos dos procedimientos de dar el mismo elemento de $A$.

Corolario: Si $B$ es $A$-álgebra que es finito y libre como un $A$-módulo, $V$ es de un número finito de libre $B$-módulo, y $\phi \in \operatorname{End}_B V$, uno puede ver a $\phi$ también como un $A$-lineal endomorfismo y, a continuación, $\det_A \phi = N_{B/A}(\det_B \phi)$ donde $N_{B/A}$ indica la norma.

Corolario: Para finito de extensiones gratuitas $A \subset B \subset C$, tenemos $N_{B/A} \circ N_{C/B} = N_{C/A}$.

Pregunta: ¿el teorema (o sea corolario) el seguimiento de algunos de los más conceptual declaración, dicen algunos de potencia exterior identidades? Hay al menos una prueba de que no hace uso de la inducción en $m$?

Otras referencias que contiene una prueba del teorema: http://dx.doi.org/10.2307/2589750 y http://www.ee.iisc.ernet.in/new/people/faculty/prasantg/downloads/blocks.pdf (gracias a Andrew Sutherland para señalar el anterior).

Answer 1

He aquí otra prueba del corolario. Creo que no es el tipo de prueba que usted está buscando, sobre todo porque secretamente se utiliza la inducción en m, pero creo que es conceptual de una manera.

1. Primera reducción: estamos tratando de demostrar una igualdad entre dos mapas de $A$-esquemas $Res_{B/A} Mat_{m\times m}\rightarrow \mathbb{A}^1$. Pero $Res_{B/A}GL_m$ es Zariski-denso en $Res_{B/A} Mat_{m\times m}$. Por lo tanto, podemos asumir que nuestros $\phi$ es invertible.

2. Primera expansión: cada par $(V,\phi)$ como en la declaración, con $\phi$ invertible, define un elemento de la Quillen K-grupo $K_1(B)$. Ahora recuerdo que el determinante se extiende a un mapa de $det_B:K_1(B)\rightarrow B^\ast$, y de la misma manera $det_A:K_1(A)\rightarrow A^\ast$. Recordemos también que hay una natural "transferencia" mapa de $tr_{B/A}:K_1(B)\rightarrow K_1(A)$ proveniente de la obvia olvidadizo functor en el módulo de categorías. A continuación, trataremos de demostrar más general de la demanda: para cualquier $x\in K_1(B)$, tenemos

$$ N_{B/A} det_B(x) = det_A tr_{B/A} (x).$$

3. Ambos lados de esta ecuación son elementos de $A$. Desde $A$ inyecta en el producto de sus localizaciones en todos los máximos ideales, y en todas las operaciones arriba conmuta con cambio de base, podemos reducir así para el caso de que $A$ es local, y, por tanto, $B$ es semi-local.

4. Para un general de anillo conmutativo $R$ el determinante mapa de $K_1(R)\rightarrow R^\ast$ tiene una evidente sección, procedentes de la visualización de los elementos de $R^\ast$ como endomorphisms de la unidad de $R$-módulo. Al $R$ es semi-local, estos mapas son realmente mutuamente inversas isomorphisms (ver http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook/Kbook.III.pdf, Lema 1.4). Desde $B$ es semi-local, por lo tanto, puede reducir al caso en que $\phi$ está dada por un elemento de $B^\ast$ actuando en $B$. Entonces la afirmación es simplemente la definición de $N_{B/A}$.

Supongo que la moraleja de la historia es que, gracias a los que se hace referencia lema, el Zariski sheafification de $K_1$ se identifica con $\mathbb{G}_m$. Y esta identificación no puede ayudar pero se entrelazan la transferencia con la norma.