¿Cómo hacer que Ext y Tor sean constructivos?

Question

EDIT: Este post fue modificado sustancialmente con la ayuda de los comentarios y respuestas. Gracias!

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A juzgar por sus definiciones, la $\mathrm{Ext}$ e $\mathrm{Tor}$ functors se encuentran entre la mayoría de los no-constructiva de las cosas consideradas en álgebra:

(1) Su definición requiere tomar un infinito proyectiva o inyectiva resolución; la construcción de un homotopy de equivalencia entre dos de tales resoluciones requiere una infinidad de opciones.

(2) Inyectiva resoluciones son bastante problemático en un constructiva mundo (e. g. la prueba de "inyectiva = divisible" requiere de Zorn, y como tengo entendido que la construcción de un inyectiva resolución se basa en este hecho).

(3) Proyectivas/inyectiva resoluciones no son realmente canónica, por lo $\mathrm{Ext}$ e $\mathrm{Tor}$ no functors de "pares de módulos" a "grupos", sino más bien functors de "pares de módulos" a alguna categoría entre "grupos" y "clases de isomorfismo de grupos". Este es un problema ya desde el punto de vista clásico.

(4) Las resoluciones no se garantiza que existe en un constructiva mundo, debido a que el módulo de un conjunto de necesidades no ser proyectiva! Para evitar este tipo de problemas, se podría tratar de limitarnos a muy buen comportamiento de los módulos (tales como, finito-dimensional sobre un campo), pero incluso entonces estamos en una mala sorpresa: a Veces, el "mejor" proyectiva de resolución para una finitely generado por el módulo utiliza la no-finitely generado módulos proyectivos (voy a mostrar un ejemplo más abajo). Estos pueden ser difíciles de tratar, de forma constructiva. Mike Shulman ha mencionado (en los comentarios) que inyectiva y proyectiva resoluciones (y ya las pruebas de que las diferentes definiciones de "proyectiva" son equivalentes, y que las diferentes definiciones de "inyectiva" son equivalentes) requieren de elección - tal vez las actualmente aceptadas nociones de inyectividad y projectivity no son "la derecha", excepto para finitely generada por los módulos? (Cf. también esta aquí.)

Por otro lado, si pensamos en las ideas detrás de la $\mathrm{Ext}$ e $\mathrm{Tor}$ y proyectiva resoluciones (sinceramente, no sé las ideas detrás de la inyectiva resoluciones, además de a dualize la noción de las resoluciones), que son (al menos parcialmente) inspirado por algunos de los más abajo-a-tierra constructivo de las matemáticas, a saber, sicigias teoría. De manera natural la pregunta a plantearse es: ¿Cómo podemos aplicar la teoría de la $\mathrm{Ext}$ e $\mathrm{Tor}$, o al menos una parte de esta teoría que todavía tiene las mismas aplicaciones que el conjunto de la teoría, sin tener que ampliar nuestro marco lógico más allá del constructivismo?

No es difícil de abordar las cuestiones (1), (2), (3) por encima de una en una, al menos cuando se trata de las propiedades básicas de $\mathrm{Ext}$ e $\mathrm{Tor}$:

Para (1), la solución es fácil: Si desea $\mathrm{Ext}^n\left(M,N\right)$ por dos módulos de $M$ e $N$ y algunos $n\in\mathbb N$, usted no necesita un conjunto infinito proyectiva resolución de $...\to P^2\to P^1\to P^0\to M$. Es suficiente para tener una secuencia exacta $P^{n+1}\to P^n\to P^{n-1}\to ...\to P^1\to P^0\to M$, donde $P^0$, $P^1$, ..., $P^n$ son proyectivos. (No es necesario para $P^{n+1}$ a ser proyectiva. Generalmente, $P^{n+1}$ es algo así como un arenque rojo al $\mathrm{Ext}^n\left(M,N\right)$ es de que se trate.)

Para (2), la única solución que conozco es la de no utilizar inyectiva resoluciones. Generalmente, las cosas que pueden ser formulados con proyectiva resoluciones sólo pueden también ser demostrado con las resoluciones sólo. Pero esta no es una solución que me gusta, ya que rompe la simetría.

(3) yo creo que esto es lo anafunctors se para, pero no he traído a mí mismo a leer el ncatlab artículo, sin embargo. Yo sé, la pereza es un problema... En el momento, yo soy la solución de este problema en un bajo nivel de forma: Nunca hablar de $\mathrm{Ext}\left(M,N\right)$, pero en lugar de hablar de $\mathrm{Ext}\left(M_P,N\right)$ o $\mathrm{Ext}\left(M,N_Q\right)$ donde $P$ e $Q$ son respectivos proyectiva/inyectiva resoluciones. Esta parece ser la manera honesta de hacer el trabajo con $\mathrm{Ext}$'s de todos modos, porque una vez que empiezas probando cosas, estas resoluciones de repente hacer de la materia, y usted se encuentra confundido (bueno... me encuentro confundido) si se suprime en la notación. [Nota: Si quieres leer Makkai de conferencias sobre anafunctors y usted está cansado de la Ghostview mensajes de error, quitar el "EPSF-1.2" parte de la primera línea de cada uno de los ficheros PS.]

Ahora, (4) es mi principal problema. Yo podría vivir sin inyectiva resoluciones, sin el falso canonicity de $\mathrm{Ext}$ e $\mathrm{Tor}$, y sin infinito proyectiva resoluciones, pero si voy a hacer álgebra homológica, que difícilmente se puede prescindir de longitud finita proyectiva resoluciones! Por desgracia, como ya he dicho, en la construcción de las matemáticas, no hay ninguna garantía de que un módulo tiene una resolución proyectiva en todo. La manera estándar para la construcción de una resolución proyectiva para un $R$-módulo de $M$ empieza tomando el módulo $R\left[M\right]$ a $M$-como-un-conjunto - o, permítanme decir, $M$-como-un-tipo. Es este módulo proyectivo, de manera constructiva? Esto depende de lo que sabemos acerca de la $M$-como-un-tipo. Por desgracia, en general, los módulos considerados en el álgebra a menudo no tienen ni un evidente conjunto de generadores ni un a-priori algoritmo para pruebas de la pertenencia; se puede ser tan complicado como "el módulo de todos los $A$-equivariant mapas de $V$ a $W$" con $A$, $V$, $W$ siendo infinito-dimensional. Algunos incluso son adecuados clases, incluso en el sentido clásico. El módulo más de un discreto conjunto finito es proyectiva, de manera constructiva, pero el módulo a través de un tipo arbitrario no tan sólo si permitimos que una forma más débil de CA a través de la puerta trasera. De todos modos, incluso si no hay una resolución proyectiva, no puede ser utilizado para explícita cálculos si los módulos no son finitely generado. Ahora, aquí es un ejemplo de donde no finitely módulos generados tienen una apariencia:

Teorema. Si $R$ es un anillo, entonces el global homológica dimensión del polinomio anillo de $R\left[x\right]$ es $\leq$ el mundial homológica dimensión de $R$ más $1$.

Me refiero a la prueba dada en Crawley-Boevey de notas de la conferencia. (Ver página 31, absatz (2).) Para la prueba, dejamos $M$ ser $R\left[x\right]$-módulo, y tomamos la resolución proyectiva

$0 \to R\left[x\right] \otimes_R M \to R\left[x\right] \otimes_R M \to M \to 0$,

donde la segunda flecha envía $p\otimes m$ a $px\otimes m-p\otimes xm$, y la tercera flecha envía $q\otimes n$ a $qn$. (Este es un caso particular de la resolución estándar de una representación de un carcaj, que aparece en la página 7 de un conjunto diferente de notas de la conferencia por el mismo Crawley-Boevey.)

Ahora, el problema es que incluso si $M$ es finitely genera como una $R\left[x\right]$-módulo, $R\left[x\right] \otimes_R M$ no tiene que ser.

Hay una forma conocida de todo esto?

En general, lo que se conoce acerca constructivo $\mathrm{Ext}$/$\mathrm{Tor}$ la teoría? Hay textos en los que, como Lombardi uno en varias otras partes de álgebra (extrañamente, este texto habla mucho acerca de los módulos proyectivos, pero da $\mathrm{Ext}$ e $\mathrm{Tor}$ una amplia litera)? Los problemas se disuelven si yo realmente uso anafunctors? Hacer categorías derivadas de ayuda? Debemos reemplazar nuestras nociones de "inyectiva" y "proyectiva" por otros mejores? O es que hay alguna razón más profunda por la que no constructivity, yo. e. es $\mathrm{Ext}$/$\mathrm{Tor}$ teoría demasiado fuerte?

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Nota para todos los que no le importan constructivo de las matemáticas: Incluso la caída constructivismo lado, creo que quedan un buen montón de problemas reales con el álgebra homológica. Primero está el asunto de canonicity, luego está el problema de " demasiado grandes construcciones (propias de las clases, etc.), el aterrador unapproachability de inyectiva cubre, la idea de que un día podría trabajar en un lugar donde incluso ZF es demasiado frecuentes, etc. Voy a cambiar el tema a una discusión de cómo solucionar estos problemas (bueno, ya es un debate), el constructivismo, siendo sólo una de las muchas direcciones para trabajar en.

Answer 1

Tengo cierta simpatía por la pregunta, ya que he conseguido que se molestó por el noncanoncity -- aunque menos por la nonconstructivity -- de la definición habitual en mi juventud. (En estos días estoy menos molesta por estas cosas.) Aquí hay un par de formas alrededor de $Ext$.

1. Hay una definición de volver Yoneda, creo, de $Ext^n(M,N)$ como una equivalencia la clase exacta de secuencias de $0\to N\to \ldots \to M\to 0$ de la longitud de la $n+2$ (incluyendo $M,N$). Echa un vistazo a Hilton y Stammbach del Álgebra Homológica. Esto es bastante engorroso, pero se resuelve la dependencia, no hablemos de la existencia de adecuados resoluciones.

2. Esto fue mencionado ya por Mike Shulman. Usted puede tomar $Ext^n(M,N)= Hom_{D(R)}(M,N[n])$ en la deriva de la categoría de $D(R)$ de %de $R$- módulos. Una vez que te acostumbras a el formalismo, esto es mucho más conveniente de 1 (al menos para mí).

3. Usted puede elegir un canónica de la resolución inicialmente para la definición de $Ext^n(M,N)$. Aquí es una elección general. Deje $F^0(M)=F(M)$ ser el módulo generado por los elementos de la $M$. Hemos canónica mapa $c_M:F(M)\to M$, vamos a $F^{-1}(M)= F(\ker c_M)$. Continuando de esta manera, podemos construir un canónica de resolución libre de $\ldots F^{-1}(M)\to F^0(M)\to M\to 0$. Doblemente, puede utilizar el inyectiva casco* construir un inyectiva resolución de $N$. Como varias personas han señalado, algunas categorías importantes de tener suficiente injectives pero no lo suficiente projectives, así que es bueno acostumbrarse a ellos.

Anexo con Respecto a tu pregunta original sobre cómo constructiva esto puede ser hecho, Creo que para ciertas clases de módulos (por ejemplo finitely presentado módulos) a través de ciertas clases de anillos (por ejemplo, el polinomio de anillos), esto es, no sólo posible, pero parece tener sido puesto en práctica en algunas de álgebra computacional paquetes ya. Me doy cuenta de que la última Macaulay 2 tiene comandos para Ext y de la Tor.

*Si tu estás contento con esto, utilice en su lugar el doble carácter del módulo $$I(N)= Hom_{\mathbb{Z}}(Hom_{\mathbb{Z}}(N,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}), \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$$

Answer 2

Tal vez de manera constructiva es erróneo esperar Tor y Ext ser definible en términos de una sola resolución.

Una manera de definir Ext(M,N) es la homología de grupos de DHom(M,N) de la derivada de la categoría de los complejos de la cadena. La derivada de la categoría de los complejos de la cadena se obtiene a partir de la categoría de los complejos de la cadena invirtiendo cuasi-isomorphisms. En la presencia de proyectiva o inyectiva resoluciones, la categoría de los complejos de la cadena tiene un (proyectiva o inyectiva) Quillen modelo de estructura, de modo que DHom(M,N) puede calcularse como Hom(QM,N) o Hom(M,RN) para un proyectiva (= cofibrant) resolución QM o un inyectiva (= fibrant) resolución de RN.

En la ausencia de resoluciones, parece probable que la "derecha" lo que hay que mirar todavía sería DHom(M,N); sería más difícil de calcular. A priori tendría que mirar en el arbitrarias en zigzag de los complejos de la cadena, con hacia atrás apuntando a los mapas de ser cuasi-isomorphisms. Pero podría suceder que no es un cálculo de fracciones o algo que pudiera reducir a dos o tres pasos en zigzag que tienes que mirar. Pero usted todavía tiene que usar diferentes "soluciones" para representar los distintos elementos de Ext(M,N).

Todo esto se basa en general tonterías intuición, sin embargo, no en cualquier experiencia de la realidad tratando de hacer cualquier cosa con Tor y Ext de manera constructiva, por lo que podría ser el camino.

Answer 3

Esto no es exactamente lo que estás preguntando, pero computacionalmente no hay ningún problema con Ext y de la Tor sobre finitely generado conmutativa álgebras de más de un campo. Los algoritmos que se describen en Eisenbud del álgebra conmutativa libro, así como de otros lugares. Por regímenes, puede utilizar la Cech definiciones. No sé hasta qué punto estas dependen de la elección de demostrar que calcular lo correcto, ya que la teoría se basa en la inyectiva resoluciones en varios puntos, incluso a pesar de que son evitables en los cálculos.

A mí me parece que se podría manejar de manera constructiva inyectiva módulos de la misma manera que la forma constructiva de la manija de la clausura algebraica de un campo. (La existencia de la clausura algebraica de $\mathbb{Q}$ requieren de elección?) No creo que literalmente necesita toda la inyectiva módulo, así como en la manera en que usted normalmente no literalmente necesita el conjunto de la clausura algebraica de un anillo. Se adhieren a las raíces de polinomios/soluciones de ecuaciones lineales según sea necesario. No sé si usted puede dar una constructivo prueba de que este se detiene, sin embargo.

Answer 4

Yo no soy una autoridad en lo que voy a escribir, pero la nLab describe una forma debilitada del axioma de elección llamado COSHEP (la Categoría De Conjuntos Tiene Suficiente Projectives), también conocido como la Presentación Axioma (PAx) que algunos constructivistas aparentemente consideran razonables. El principio de hecho pulsado durante varios modelos de intuitionistic la teoría de conjuntos, por ejemplo, cualquier presheaf topos y también la efectiva topos, donde todo el axioma de elección no mal.

Bajo COSHEP, es fácil construir proyectivas de las resoluciones en el álgebra. Y al parecer esta es una de las principales aplicaciones para constructivo matemáticos, por lo que la cuestión planteada por Darij, sin duda, ha sido considerado en la literatura.

En cuanto inyectiva resoluciones: no es la situación en Grothendieck toposes bastante mejor que por las resoluciones? Pienso que la principal justificación matemática de interés en la construcción de las pruebas es que admiten una amplia gama semántica que las clásicas pruebas. En particular, la lógica interna de un topos es 'constructivo', y la principal razón por la que uno está interesado en la construcción de las pruebas es que tienden a llevar a toposes. De todos modos, si no estoy mal informado, la categoría de abelian grupo de objetos en un topos de Grothendieck siempre tiene suficiente injectives; es posible que no haya suficiente projectives sin embargo. De hecho, el interés en cosas como "flácido gavillas" parece venir de lleno en el inyectiva lado. (Hm, acabo de dar cuenta que Greg Friedman hizo un punto similar en un comentario anterior.)

Todo lo que se dice, espero que empujar "suficiente injectives" a través de Grothendieck toposes, uno debe asumir ciertos línea de base de la elección de principios sobre la base de topos $Set$. La "suficiente injectives" resultado de Grothendieck toposes probablemente depende de que algunas de las consideraciones externas (como la existencia de un generador) en lugar de la lógica interna de las consideraciones, así que estoy un poco turbio en lo que el constructivismo realmente tiene que decir aquí. Todo lo que digo arriba es que si su interés principal en la construcción de las pruebas es que llevan más de Grothendieck toposes, entonces, no miedo: ellos tienen suficiente injectives ya.

Tengo la esperanza de que alguien como Andreas Blass pesa aquí en algún momento.