¿Cuál es tu función "extraña" favorita?

Question

Hay muchos "extraño" funciones para elegir, y la más profunda de involucrarse con las matemáticas más que se pueda encontrar. Yo conscientemente no mencionar por razones de sesgo. Yo sólo soy curioso lo que usted considera extraño y gusta especialmente.

Por favor, dar una razón por la que usted encuentre esta función extraño y por qué te gusta. Tal vez usted podría también dar algún tipo de referencia donde encontrar más información.

Como normalmente: por Favor, solo mencionar una función por el post y dejar que los votos decidir :-)

Answer 1

La función vacía$\emptyset:\emptyset\to\emptyset$ es bastante extraña cuando la conoce por primera vez.

Answer 2

El Busy Beaver función

Vamos a Σ ser un alfabeto finito, por ejemplo {0, 1}; vamos a M el conjunto de máquinas de Turing con el alfabeto Σ, y dejar que H ⊆ M el conjunto de máquinas de Turing que detener cuando se administra la cadena vacía ε como entrada.

Para cada M ∈ H, Deje que s(M) es el número de pasos realizados por M antes de parar (cuando se le da ε como entrada).

Por último, vamos a S : ℕ → ℕ ser la función definida por

S(n) = max {s(M) : M ∈ H y M tiene n estados}

Observe que S está bien definido, ya que sólo un número finito de máquinas de Turing con n estados existir.

En otras palabras, S(n) es el número máximo de pasos que se realizan en ε entre todos los de detener las máquinas de Turing con n estados. S se llama el Busy Beaver función.

Resulta que S es uncomputable porque crece más rápido que cualquier función computable, es decir, para todas las funciones recursivas f : ℕ → ℕ tenemos S(n) > f(n) para lo suficientemente grande como n, y, en particular, f es o(S).

Answer 3

Un movimiento Browniano recorrido de la muestra.

Estos son unos de los más bizarramente se comportó de funciones continuas en $\mathbb{R}^+$ que se puede pensar. Son diferenciable, tiene sin límites de variación, alcanzar máximos y mínimos locales en cada intervalo... muchos, Muchos papeles y libros se han escrito acerca de sus extrañas propiedades.

Edit: Como ya se ha comentado, debo aclarar que el término "ruta de ejemplo". El movimiento browniano es un proceso estocástico $B_t$. Decimos que una muestra de la trayectoria de movimiento Browniano tiene alguna propiedad, si la función de $t \mapsto B_t$ tiene esa propiedad casi seguramente. Así, ejecutar un movimiento Browniano, y con una probabilidad de 1 obtendrá una función con todas estas extrañas propiedades.

Answer 4

Me gusta la función de Cantor. Una función continua y creciente$f:[0,1]\rightarrow[0,1]$ con derivada$0$ en casi todas partes. Vea el artículo wiki aquí .

Answer 5

La función de Ackermann $A(n,m)$ está definida sobre los números naturales por una muy simple repetición, sino que los valores crecer enormemente, casi más allá de la concepción. Esta función completamente trasciende cualquier simple-mente el sistema de las tasas de crecimiento en función polinómica, exponencial, doble exponencial y así sucesivamente.

El primer par de valores de la diagonal de la función $A(n) = A(n,n)$ son:

• $A(0) = 1$
• $A(1) = 3$
• $A(2) = 7$
• $A(3) = 61$
• $A(4) = 2^{2^{2^{65536}}}-3$
• $A(5)$ es amplia, y puede ser descrito en términos de exponenciales pilas de $2$s, cuya altura es una pila de $2$s, etc. 5 veces.
• $A(6)$ es tan vasta, que se describe mejor mediante la función de Ackermann sí mismo.

Los niveles de los Ackerman función de $A_n(m)=A(n,m)$ estratificar las primitivas funciones recursivas, en el sentido de que cada una de ellas es primitiva recursiva, pero cada primitiva recursiva de la función está limitada por el nivel de la función de Ackermann. Por lo tanto, la función de Ackermann en sí no es primitiva recursiva, aunque es computable en el sentido de la teoría de la computabilidad.