Producto de números $\pm\sqrt{1}\pm\sqrt{2}\pm\cdots\pm\sqrt{n}$ es un número entero

Question

Demostrar que el producto de la $2^n$ números $\pm\sqrt{1}\pm\sqrt{2}\pm\cdots\pm\sqrt{n}$ es un número entero.

Quiero considerar el polinomio $P(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_{2^n})$ donde el $a_i$ son los $2^n$ números. El producto deseado es el término constante del polinomio. ¿Podemos demostrar que este polinomio tiene alguna forma sencilla?

Answer 1

Sugerencia: Deja que $P_n(x)$ sea su polinomio. Entonces muestra $P_{n+1}(x)=P_n(x-\sqrt{n+1})P_n(x+\sqrt{n+1})$ y demostrar inductivamente que $P_n(x)$ siempre tiene sólo coeficientes enteros.