¿Cuándo $A^A=2^A$ sin el axioma de la elección?

Question

Asumiendo el axioma de elección el siguiente argumento es sencillo, para infinitos $A$ se mantiene: $$2\lt A\leq2^A\implies 2^A\leq A^A\leq 2^{A\times A}=2^A.$$

Sin embargo, sin el axioma de elección esto ya no tiene por qué ser cierto. Por ejemplo, si $A$ es un conjunto amorfo (conjunto infinito que no puede escribirse como unión disjunta de dos conjuntos infinitos), entonces es realmente cierto que $2^A<3^A<4^A<\ldots< A^A$ . La razón por la que estas desigualdades se mantienen es que $A^A$ es en realidad Dedekind-finito, por lo que cada vez que eliminamos elementos disminuimos estrictamente la cardinalidad.

Por supuesto, todavía hay conjuntos que obedecen a la ecuación $A^A=2^A$ aunque $A$ no puede estar bien ordenado. Por ejemplo, dado un conjunto cualquiera $A$ no es difícil comprobar que $A^\omega$ tiene la propiedad $A^\omega\times A^\omega=A^\omega$ . De esto se desprende:

$$2\lt A^\omega\leq 2^{A^\omega}\implies 2^{A^\omega}\leq\left(A^\omega\right)^{A^\omega}\leq \left(2^{A^\omega}\right)^{A^\omega}=2^{A^\omega}$$ (De hecho, podemos sustituir $\omega$ por cualquier conjunto $\tau$ tal que $\tau+\tau=\tau$ )

Pero me cuesta creer que estas dos cosas sean equivalentes: $$A^A=2^A\iff A\times A=A.$$

Pregunta I. ¿Se sabe algo sobre las propiedades de los conjuntos para los que $A^A=2^A$ ?

Pregunta II. Si $2^A=A^A$ no caracteriza los conjuntos para los que $A\times A=A$ ¿el axioma " Para cada infinito $A$ , $2^A=A^A$ "¿implica el axioma de la elección?

Si la respuesta es desconocida, ¿aparece esta pregunta (o variantes, o preguntas estrechamente relacionadas) en la literatura?

Parece una pregunta plausible de Tarski o Sierpinski. Encontré varias otras preguntas que he formulado antes y que han sido formuladas en uno u otro documento.

Answer 1

David Pincus en " Una nota sobre el factorial cardinal " (Fundamenta Mathematicae vol.98(1), páginas 21-24(1978)) demuestra que $A^A=2^A$ no implica el axioma de elección, por lo que no caracteriza los conjuntos para los que $A=A\times A$ . El contraejemplo es el modelo de su documento " Representantes de los cardenales ", Israel Journal of Mathematics, vol.18, páginas 321-344 (1974).

Como escribe Pincus en las últimas líneas de [Pincus78]:

c. Nuestros argumentos [ en la demostración de "4.El teorema principal; si $x$ es infinito entonces $2^x=x!$ " ] han hecho poco uso de la definición particular de $x!$ . En efecto, dejemos $\mathcal{F}$ sea cualquier operación con valor de conjunto que satisfaga

(1) El predicado $y\in\mathcal{F}$ es absoluta desde $M$ a $V$ .

(2) $\mathsf{ZF}$ prueba $|y|\leq x \Rightarrow |\mathcal{F}(y)|\leq |\mathcal{F}(y)|$ y $|2x|=|x|\Rightarrow 2^x\leq|\mathcal{F}(x)|$ para el infinito $x$ .

(3) $\mathsf{ZFC}$ prueba $2^x=|\mathcal{F}(x)|$ para el infinito $x$ .

La afirmación "Para cada infinito $x$ , $2^x=|\mathcal{F}(x)|.$ ", mantiene en $M$ (y por tanto no es un equivalente al axioma de elección). Ejemplos de $\mathcal{F}$ , además de $x!$ son $x^x$ y $x^x-x!$ .

Por lo tanto, en este modelo de Pincus, $\mathsf{ZF}$ + $\lnot\mathsf{AC}$ + "para todo infinito x, $2^x=x!=x^x=x^x-x!=|\mathcal{F}(x)|$ "es válido para cualquier operador valorado por el conjunto $\mathcal{F}$ como en el caso anterior.

Debo decir que, después de no encontrar una respuesta por mí mismo, me enteré de esto buscando en mi buen amigo las "Consecuencias del axioma de la elección" de Howard y Rubin, Formulario 200 y Nota 64 . Trato de hacer referencia a este libro siempre que puedo :)