¿Podemos asegurar que existe un epimorfismo $G\rightarrow H?$

Question

Dejemos que $G,H$ sean grupos finitos. Supongamos que tenemos un epimorfismo $G\times G\rightarrow H\times H$ . ¿Podemos encontrar un epimorfismo $G\rightarrow H$ ?

Un compañero de posgrado me hizo esta pregunta durante las sesiones de AT. Desconcertado, hice esta pregunta en mathstackexchange [sitio][1], recibió algunos votos positivos pero ninguna respuesta. Según él, lleva días realizando una comprobación del software en los grupos de pedidos pequeños, y todavía no ha encontrado ningún contraejemplo. Así que me atrevo a preguntar aquí. Parece poco probable que sea cierto, pero no podemos encontrar una prueba o un contraejemplo.

Este es un reenvío de

https://mathoverflow.net/questions/110857/can-we-ascertain-that-there-exist-an-epimorphism-g-rightarrow-h

a petición del moderador de meta.mathoverflow. El post original se fusionará con este post.

Answer 1

(Transmitiendo mi contraejemplo de MSE aquí)

Dejemos que $G=Q_8\times D_8$ , donde $Q_8$ es el grupo de cuaterniones y $D_8$ es el grupo diédrico de orden $8$ .

Dejemos que $f$ sea un isomorfismo $$f:G\times G =\left(Q_8\times D_8\right)\times \left(Q_8\times D_8\right)\longrightarrow \left(Q_8\times Q_8\right)\times \left(D_8\times D_8\right).$$ Ahora, dejemos que $\mu$ y $\lambda$ sean epimorfismos $$\begin{eqnarray*}\mu:Q_8\times Q_8&\longrightarrow&Q_8 {\small \text{ Y }} Q_8\\ \lambda:D_8 \times D_8&\longrightarrow&D_8 {\small \text{ Y }}D_8\end{eqnarray*}$$ donde $A {\small \text{ Y }} B$ denota el producto central de $A$ y $B$ . Entonces $$\mu\times \lambda:\left(Q_8\times Q_8\right)\times \left(D_8\times D_8\right)\longrightarrow \left(Q_8 {\small \text{ Y }}Q_8\right)\times \left(D_8 {\small \text{ Y }}D_8 \right)$$ es un epimorfismo. La clave es que $D_8{\small \text{ Y }} D_8\cong Q_8{\small \text{ Y }} Q_8$ , por lo que si tomamos un isomorfismo $$\phi:D_8{\small \text{ Y }} D_8\longrightarrow Q_8{\small \text{ Y }} Q_8,$$ podemos tomar $H=Q_8{\small \text{ Y }} Q_8$ y forman un isomorfismo $$1_H\times \phi:\left(Q_8 {\small \text{ Y }}Q_8\right)\times \left(D_8 {\small \text{ Y }}D_8 \right)\longrightarrow \left(Q_8 {\small \text{ Y }}Q_8\right)\times \left(Q_8 {\small \text{ Y }}Q_8 \right)=H\times H.$$ Así que, en general, tenemos $$\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} \left(Q_8\times D_8\right) \times \left( Q_8 \times D_8 \right)& \ra{f} &\left(Q_8\times Q_8\right) \times \left( D_8 \times D_8 \right)&\\ & & \da{\mu\times \lambda} & & & & \\ & & \left(Q_8 {\small \text{ Y }}Q_8\right)\times \left(D_8 {\small \text{ Y }}D_8\right) & \ras{1_H\times \phi} & \left(Q_8 {\small \text{ Y }}Q_8\right)\times \left(Q_8 {\small \text{ Y }}Q_8\right) \end{array} $$ y por tanto un epimorfismo $$f(\mu\times\lambda)(1_H\times \phi):G\times G\longrightarrow H\times H.$$ Sin embargo, $Q_8{\small\text{ Y }}Q_8$ no es una imagen homomórfica de $Q_8\times D_8$ . Así que esto es un contraejemplo.

(Crédito y agradecimiento a Peter Sin por el paso crucial de esta respuesta).

Answer 2

He aquí una observación sobre un posible contraejemplo mínimo. Supongamos que se tiene un epimorfismo $\varphi:G\times G\twoheadrightarrow H\times H$ . Entonces tenemos dos mapas $\varphi_1:G\to H\times H$ tal que $\varphi_1(g)=\varphi(g,1)$ y $\varphi_2: G\to H\times H$ tal que $\varphi_2(g)=\varphi(1,g)$ . Entonces tenemos $\varphi(g_1,g_2)=\varphi_1(g_1)\cdot \varphi_2(g_2)$ . Entonces, claramente $\ker(\varphi_1)\times \ker(\varphi_2) \subset \ker(\varphi)$ . Así que $(\ker(\varphi_1)\cap \ker(\varphi_2) )\times (\ker(\varphi_1)\cap \ker(\varphi_2) ) \subset \ker(\varphi)$ . Sea $G'=G/(\ker(\varphi_1)\cap \ker(\varphi_2) )$ . Entonces el mapa $\varphi$ factores a través del mapa $G\times G \to G'\times G'$ . Está claro que si $G$ no admite una suryección a $H$ entonces tampoco $G'$ . Así que para un contraejemplo mínimo, debemos tener $\ker(\varphi_1)\cap \ker(\varphi_2)=1$ .

Esto da una idea de un posible contraejemplo mínimo. Consideremos el mapa $\varphi_1\times \varphi_2: G \to H\times H\times H\times H$ . Entonces $\ker(\varphi_1\times \varphi_2)=\ker(\varphi_1)\cap \ker(\varphi_2)=1$ , por lo que tenemos una incrustación $G\hookrightarrow H^4$ . Así que un contraejemplo mínimo $G$ debe incrustarse en $H^4$ .

Answer 3

Como se explica en los comentarios, el resultado es verdadero si $H$ es abeliana.

Aquí hay un argumento que muestra que el resultado es verdadero en el caso algo ortogonal donde $H$ tiene centro trivial [EDITAR] y es indecomponible [/EDIT] .

Escribe el epimorfismo $G \times G \to H \times H$ como $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ con $a,b,c,d : G \to H$ . Sea $A,B,C,D$ sean las respectivas imágenes de $a,b,c,d$ en $H$ .

Los grupos $A$ y $B$ conmutan elementalmente en el sentido de que $xy=yx$ por cada $x \in A$ y $y \in B$ . Además, generan $H$ por suposición. Así que tenemos una secuencia exacta

\begin{equation*} 1 \to A \cap B \to A \times B \to H \to 1 \end{equation*}

y de forma similar para $C,D$ . Tenga en cuenta que $A \cap B$ se desplaza con $A$ y $B$ por lo que debe estar en el centro de $H$ Por lo tanto, debería ser trivial. Por lo tanto, $H=A \times B = C \times D$ . De ello se desprende que $A=\{e\}$ o $B=\{e\}$ Por lo tanto $a$ o $b$ es suryente.

El mismo argumento también funciona en algunos casos en los que el centro de $H$ no es trivial, por ejemplo cuando $H$ es un grupo de orden $p^3$ con $p$ de primera.

Answer 4

[Demasiado largo para un comentario, así que lo coloco en la respuesta wiki de la comunidad].

El núcleo del epimorfismo $\quad\varphi : G\times G \to H\times H\quad$ es un subgrupo normal de $G\times G$ para lo cual por un cálculo sencillo se puede demostrar que

$$N_{-}:=[\pi_1(N), G]\times [\pi_2(N), G] \le N \le \pi_1(N)\times \pi_2(N)$$

con $\pi_i$ la proyección en el $i$ -coordenadas. Como $G$ actúa trivialmente sobre $\pi_i(N)/[\pi_i(N), G]\;$ , $N/N_{-}$ es fundamental en $(G\times G)/N_{-}\;$ . [Esta podría ser la motivación del segundo comentario de Yves].

Lo mismo ocurre con las preimágenes $\varphi^{-1}(H \times 1)$ y $\varphi^{-1}(1 \times H)$ También se puede jugar con El lema de Goursat Pero aún no he decidido si debería intentar demostrar o refutar la pregunta.