Llamamos a un número de "santo" si no contiene $666$ en su expansión decimal, y "profano" en caso contrario. Por ejemplo, $12366621$ e $666609$ son impíos, mientras que $7777$ e $66166266366$ son santos.
Pregunta: Es el conjunto $$\{2^n \ | \ n \in \mathbb N, 2^n \text{ is holy}\}$$ infinito?
Por supuesto, un montón de preguntas similares pueden ser preguntado por el cambio del número $666$, la base de la $2$, y la base para la extensión (pedimos un decimal, por lo que el defecto se $10$). No siento que yo soy la primera que está pidiendo esto, y se los agradezco si alguien me da referencias, si es aplicable.
Pero mi pensamiento es el siguiente:
Conjetura: No.
Voy a compartir mi razonamiento al final del post, pero veamos primero algunos hechos:
Más pequeño de lo profano instancias: $$ \begin{aligned} 2^{157} &= 182687704\color{magenta}{666}362864775460604089535377456991567872\\ 2^{192} &= 6277101735386680763835789423207\color{magenta}{666}416102355444464034512896 \end{aligned} $$
Then, we witnessed a cluster of unholy powers: $2^{218}, 2^{220}, 2^{222}, 2^{224}, 2^{226}$, and then kept holy for a while, until we hit the unholy $2^{243}$.
Largest holy instances: I did not throw in a lot of CPU time to pursue holy numbers, nor did I try hard enough to optimize my programs, but among the $3715$ holy powers of $2$el mayor de ellos son $$2^{25357}, 2^{25896}, 2^{26051}, 2^{26667}, 2^{29784}.$$
I tested up to around $2^{110000}$, but that is all I got. It probably will be reasonable for an average computer to test up to say $2^{10^6}$ or $2^{10^7}$, but I will be surprised to see a new holy number.
Statistics: For an integer $n$, let $H(n)$ be the number of holy powers of $2$ up to $2^$n.
n | H(n) || n | H(n) || n | H(n)
1000 | 875 || 11000 | 3567 || 21000 | 3700
2000 | 1560 || 12000 | 3602 || 22000 | 3703
3000 | 2059 || 13000 | 3621 || 23000 | 3705
4000 | 2442 || 14000 | 3645 || 24000 | 3707
5000 | 2747 || 15000 | 3655 || 25000 | 3709
6000 | 2984 || 16000 | 3670 || 26000 | 3712
7000 | 3171 || 17000 | 3682 || 27000 | 3714
8000 | 3332 || 18000 | 3689 || 28000 | 3714
9000 | 3440 || 19000 | 3693 || 29000 | 3714
10000 | 3514 || 20000 | 3695 || 30000 | 3715
Una parcela de esto:
La heurística de la conjetura:
Este es sin duda no se cierre a prueba a todos, y sigo teniendo la esperanza de si los argumentos rigurosos existe:
La idea es que queremos estimar, para un entero $n$, la probabilidad de $P(n)$ que $2^n$ es santo, y, a continuación, calcular $\sum_{n=1}^\infty P(n)$.
Sabemos que $2^n$ ha $O(n\ln 2)$ dígitos decimales, por lo que hay $O(n\ln 2)$ grupos de tres. Para cada grupo hay un $1-10^{-3}$ de probabilidad de no $666$, por lo que muy groso $$ P(n) = (1-10^{-3})^{n\ln 2} \approx e^{-10^{-3}\ n\ln 2}. $$
Y tenga en cuenta que $$ \sum_{n=1}^\infty P(n) \approx \int_{n=0}^\infty e^{-10^{-3}\ x\ln 2} dx < \infty. $$
La roja "estimación de la línea" en la figura anterior se sigue de esta integral.
Por supuesto, uno puede argumentar que el propio de la heurística anterior:
- La distribución de los dígitos cerca de la izquierda no son uniformes; son afectados por el crecimiento de las funciones logarítmicas.
- La distribución de los dígitos cerca de la derecha no son uniformes; en que se ven afectados por el patrón de $2^n \pmod{10^k}$.
- $P(n)$ e $P(n+i)$ no son independientes, parcialmente a causa de la terrible elección del número de $666$: $6\cdots 6 \times 2^2 = 26\cdots 64$.
Todos los pensamientos son apreciados.
