Petición de intuición de un físico sobre derivadas covariantes y derivadas de Lie

Question

Un amigo mío está estudiando física, y hace la siguiente pregunta que, estoy seguro, otros podrían responder mejor:

¿Cuál es la diferencia entre la derivada covariante de $X$ a lo largo de la curva $(t)$ y una derivada de Lie de $X$ a lo largo de $y(t)?$ Conozco los tecnicismos sobre la no necesidad de definir una conexión con una derivada de Lie, la necesidad de definir los campos $X$ y $Y$ sobre un barrio más grande, etc.

Busco un sentido más físico. Si una derivada de Lie da el sentido del cambio de un campo vectorial a lo largo de la dirección de otro campo, ¿en qué se diferencia la derivada covariante?

Answer 1

La derivada de Lie de un campo vectorial $X$ con respecto a otro campo vectorial $Y$ no es más que el corchete de Lie de los dos campos vectoriales. Está bien definido dada sólo la estructura suave y no requiere ninguna conexión. En otras palabras, es independiente de los cambios de coordenadas y se conserva bajo cualquier difeomorfismo. Dada la flexibilidad de los difeomorfismos, no puede ser un concepto puntual o incluso curvilíneo, ya que básicamente se puede asignar cualquier par de vectores distintos de cero a cualquier otro par e incluso cualquier campo vectorial transversal no evanescente a lo largo de una curva a cualquier otro campo vectorial transversal no evanescente a lo largo de otra curva.

Pero sabemos lo que nos dice la derivada de la Mentira. Nos dice lo "coherentes" o "independientes" que son los dos campos vectoriales entre sí localmente (en un conjunto abierto y no sólo en un punto). Mide hasta qué punto los flujos generados conmutan, es decir, qué ocurre si primero se recorre una curva integral de uno y luego la del otro en orden inverso.

Otra forma de pensar en esto es, discutido en la teoría de control, pensar en el conjunto que obtienes si fluyes primero a lo largo de un campo vectorial, luego el otro, luego el primero otra vez, etc. Si el corchete de Lie desaparece, te quedas dentro de una superficie bidimensional. Si no desaparece, el valor del corchete de Lie (y sus iterados) nos indica la dimensión del conjunto en el que nos encontramos.

Una conexión permite definir el concepto de vector "constante" a lo largo de una curva, es decir, la traslación paralela a lo largo de una curva. Es importante entender que definir la traslación paralela es una suposición o estructura geométrica adicional que se añade a la variedad lisa.

Answer 2

En primer lugar, permítanme decir que lo que es intuitivo para un físico puede no serlo para un geómetra y viceversa. Para muchos físicos, una conexión es el potencial de un campo que satisface una invariancia gauge. Para este punto de vista me remito al vol. 1, cap. 6 secc. 41 del libro en tres volúmenes de Dubrovin-Fomenko-Novikov: Geometría Moderna - Métodos y aplicaciones.

Este punto de vista me parece menos intuitivo sólo porque me formé como matemático.

La noción de derivada covariante aparece de forma natural cuando se intenta resolver el siguiente problema. Supongamos que $E\to M$ es un haz vectorial liso sobre una variedad lisa $M$ . Por ejemplo, $E$ podría ser el haz tangente de $M$ . Buscamos una noción de transporte paralelo que nos permita comparar vectores situados en distintas fibras del haz. Más concretamente, se trata de una correspondencia que asocia a cada trayectoria suave

$$\gamma: [a,b]\to M$$

un mapa lineal $T_\gamma$ de la fibra de $E$ en el punto inicial de $\gamma$ a la fibra de $E$ sobre el punto final de $\gamma$

$$T_\gamma: E_{\gamma(a)}\to E_{\gamma(b)}.$$

El mapa $T_\gamma$ se denomina transporte paralelo a lo largo del trayecto $\gamma$ La misión $\gamma\mapsto T_\gamma$ debe cumplir dos condiciones naturales.

(a) $T_\gamma$ debería depender sin problemas de $\gamma$ . (El significado preciso de esta suavidad es un poco técnico de formular, pero al final significa lo que tu intuición te dice que debería significar).

(b) Si $\gamma_0: [a,b]\to M$ y $\gamma_1:[b,c]\to M$ son dos trayectorias suaves tales que el punto inicial de $\gamma_1$ coincide con el punto final, entonces obtenemos por concatenación un camino $\gamma:[a,c]\to M$ y exigimos que

$$T_\gamma= T_{\gamma_1}\circ T_{\gamma_0}. $$

Supongamos que tenemos un concepto de transporte paralelo. Dada una trayectoria suave $\gamma:[0,1]\to M$ y una sección $\boldsymbol{u}(t)\in E_{\gamma(t)}$ , $t\in [0,1]$ de $E$ en $\gamma$ entonces podemos definir un concepto de derivada de $\boldsymbol{u}$ a lo largo de $\gamma$ . Más concretamente

$$ \nabla_{\dot{\gamma}} \boldsymbol{u}|_{t=t_0}=\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon} \left( T^{t_0,t_0+\varepsilon}_\gamma \boldsymbol{u}(t_0+\varepsilon)- \boldsymbol{u}(t_0)\right), $$

donde $ T^{t_0,t_0+\varepsilon}_\gamma$ denota el transporte paralelo a lo largo de $\gamma$ de la fibra de $E$ en $\gamma(t_0+\varepsilon)$ a la fibra de $E$ en $\gamma(t_0)$ . El lado izquierdo de la igualdad anterior se denomina derivada covariante de $\boldsymbol{u}$ a lo largo del campo vectorial $\dot{\gamma}$ determinado por el transporte paralelo. Así pues, la elección de un transporte paralelo conduce a un concepto de derivada covariante.

A la inversa, una derivada covariante $\nabla$ conduce a un transporte paralelo. Dada una trayectoria suave $\gamma:[0,1]\to M$ el transporte paralelo

$$T_{\gamma}: E_{\gamma(0)}\to E_{\gamma(1)} $$

se define del siguiente modo. Fijar $u_0\in E_{\gamma(0)}$ . Entonces existe una única sección $\boldsymbol{u}(t)$ de $E$ en $\gamma$ satisfaciendo

$$ \boldsymbol{u}(0)=u_0,\;\;\nabla_{\dot{\gamma}}\boldsymbol{u}(t)=0,\;\;\forall t\in [0,1].$$

A continuación, fijamos $\newcommand{\bu}{\boldsymbol{u}}$

$$T_\gamma \bu_0:= \boldsymbol{u}(1).$$

Esta construcción nos permite definir la derivada covariante $\nabla_X\bu$ de una sección $\bu$ de $E$ a lo largo de un campo vectorial $X$ de $M$ . Cumple la propiedad de reescalado

$$ \nabla_{fX}\bu=f\big(\nabla_X\bu\big),\;\;\forall f\in C^\infty(M). $$

Una conexión en $TM$ satisfará entonces

$$\nabla_{fX} Y=f\big(\nabla_X Y),$$

para cualquier campo vectorial $X,$ y cualquier función suave $f$ . Por otra parte, la derivada de Lie satisface $$ L_{fX} Y= fL_XY-(Xf) Y, $$ por lo que no puede ser una derivada covariante.

Answer 3

Me gusta pensar en la derivada de Lie de la siguiente manera. Estás en un puente sobre un río. Abres una caja de cerillas y las tiras al río. En el momento $t=0$ los partidos definen un campo vectorial $X$ el campo de velocidad del río es un campo vectorial $Y$ . Fije la vista en un punto $p$ (inmóvil con respecto al puente) y observa cómo las direcciones de los fósforos que fluyen por el punto $p$ están cambiando. La velocidad de este cambio es la derivada de Lie $\mathcal{L}_Y(X)(p)$ . Esta imagen no es muy exacta, porque las cerillas no cambian de longitud. Una cerilla realmente elástica puede estirarse o encogerse con el flujo.

Para entender la derivada covariante de Levi-Civita hay que entender la geodésica. Si circula por un terreno irregular, su coche se moverá a lo largo de la geodésica si la rueda izquierda y la derecha giran con la misma velocidad. Si $X$ es un campo vectorial sobre el terreno, y tu velocidad en ese momento es $Y$ entonces $\nabla_YX$ es la tasa de variación del campo vectorial $X$ en el sistema de coordenadas vinculado a tu coche.

En particular, se observa que $\nabla_YX(p)$ depende únicamente del valor de $Y$ en el punto $p$ mientras que $\mathcal{L}_Y(X)(p)$ depende de los valores de $Y$ en un barrio de $p$ .

Answer 4

He aquí un ejemplo de Lee's Geometría riemanniana

Problema 4-3: b) Existe un campo vectorial en $\mathbb R^2$ que desaparece a lo largo del eje x, pero cuya derivada de Lie con respecto a $\partial_1$ no desaparece en el eje x. [Esto demuestra que la diferenciación de Lie no da una forma bien definida de tomar derivadas direccionales de campos vectoriales a lo largo de curvas].

Por ejemplo, podemos tomar el campo vectorial como $V = \exp(-\frac{1}{x_2} + x_1)$ para $x_2 > 0$ y 0 en caso contrario.

Answer 5

La derivada de Lie se basa en un grupo de Lie (o álgebra de Lie) que actúa sobre la variedad. Esta derivada no puede definirse sólo en un punto porque la acción no puede definirse en un punto aunque se dé explícitamente la dirección en ese punto. En cambio, utilizando la conexión, la derivada covariante puede definirse puntualmente. Creo que esta es la principal diferencia técnica entre ellas.